Módulo de corte (G): qué es, fórmula, relación con E y ν, valores y cómo medirlo

El módulo de corte (G), también llamado módulo de cizallamiento, módulo de elasticidad transversal o módulo de rigidez, mide la rigidez de un material frente a la distorsión: es la razón entre el esfuerzo cortante y la deformación angular, en radianes, en el régimen elástico, G = τ/γ. Para el acero estructural, la ABNT NBR 8800 (la norma brasileña de diseño de estructuras de acero) adopta G = 77,000 MPa (77 GPa). En un material isótropo, G se calcula a partir del módulo de Young y del coeficiente de Poisson con G = E/[2(1 + ν)], y por eso siempre queda entre E/3 y E/2.

En resumen:

• Fórmula: G = τ/γ, con τ en MPa y γ en radianes; G resulta en la unidad del esfuerzo, en GPa en los metales.
• Valores de referencia: acero 77 GPa (NBR 8800) y de 75 a 83 GPa en las tablas; aluminio 25 GPa; cobre 46 GPa; concreto C30 alrededor de 11 GPa (NBR 6118, la norma brasileña de diseño de estructuras de concreto); caucho del orden de megapascales.
• Relación con E y ν: G = E/[2(1 + ν)], válida solo para material isótropo. Con ν = 0.3, G ≈ 0.385·E.
• Medición: por la pendiente de la curva par × ángulo en el ensayo de torsión (ASTM E143-20), por vibración (ASTM E1876-22) o, en compuestos, con probetas de ensayo con entalla en V (ASTM D5379 y D7078).

Este artículo trata el módulo como propiedad del material: qué es, de dónde viene la relación con E y ν, qué valores usar en diseño, cómo se mide y dónde decide un cálculo. El ensayo de corte de pernos, adhesivos y compuestos está en ensayo de corte, y el paso a paso del ensayo de torsión, en ensayo de torsión.

Qué es el módulo de corte

Una fuerza puede actuar sobre una cara de dos maneras. Perpendicular a la cara, tracciona o comprime, y la respuesta del material es alargarse o acortarse; la rigidez frente a eso es el módulo de elasticidad E. Paralela a la cara, intenta hacer que las capas del material se deslicen unas sobre otras. Esa es la solicitación de corte, y el esfuerzo correspondiente es el esfuerzo cortante, τ = F/A, la fuerza paralela dividida entre el área de la cara sobre la que actúa.

Bajo corte, el material no cambia de longitud: cambia de forma. Un cubo se convierte en un paralelepípedo inclinado, y el ángulo recto entre dos aristas disminuye. Esa variación de ángulo es la deformación por cortante, o distorsión, γ. Si la cara superior de un bloque de altura h se desplaza Δx respecto a la inferior, γ ≈ Δx/h, en radianes. El módulo de corte es la constante que relaciona las dos magnitudes mientras el material se comporta como un resorte: τ = G·γ. Es la ley de Hooke escrita para el corte.

El esquema de abajo muestra las dos cosas lado a lado. A la izquierda, el bloque con la base fija y la fuerza F aplicada en la cara superior: el desplazamiento Δx, la altura h y el ángulo γ que mide la distorsión. A la derecha, la curva τ × γ de un acero, con el tramo recto inicial cuya pendiente es G, el punto donde termina la recta y la fluencia en corte, cerca de 144 MPa para un acero con fluencia de 250 MPa en tracción.

La lectura de la curva es la misma que la del diagrama esfuerzo-deformación de la tracción. G vale solo en el tramo recto, hasta el límite de proporcionalidad; de ahí en adelante la curva se inclina y la deformación pasa a tener una parte permanente. El valor de G de un acero es alrededor de 2.6 veces menor que su E: con el mismo esfuerzo, el acero se distorsiona más de lo que se alarga.

Los nombres de la misma propiedad

"Módulo de corte", "módulo de cizallamiento", "módulo de elasticidad transversal" y "módulo de rigidez" designan la misma magnitud G. Las normas brasileñas de diseño, como la NBR 8800 y la NBR 6118, usan "módulo de elasticidad transversal" (módulo de elasticidade transversal); la literatura de materiales y las normas ASTM usan "shear modulus", que en español se traduce como módulo de corte o de cizallamiento; "módulo de rigidez" viene de "modulus of rigidity", común en tablas de ingeniería mecánica. Textos más antiguos también hablan de "módulo de Coulomb" o "módulo de torsión", y en Portugal se dice "módulo de corte", igual que en español. El símbolo es siempre G; la letra E queda para el módulo de Young y K para el módulo volumétrico.

Rigidez no es resistencia

El módulo de corte indica cuánto se distorsiona el material bajo un esfuerzo, no cuánto aguanta. El esfuerzo máximo que el material soporta en corte es la resistencia al corte, en MPa, medida en el ensayo de corte. Las dos magnitudes son independientes: un acero dulce y un acero templado tienen prácticamente el mismo G, cerca de 77 a 80 GPa, y resistencias al corte que difieren varias veces. El tratamiento térmico, la acritud (endurecimiento por deformación) y el contenido de carbono cambian mucho la resistencia y casi nada la rigidez, como ocurre con el módulo de Young.

El módulo del material y la rigidez de la pieza

G es una propiedad del material y no depende de la forma de la pieza. Cuando se torsiona un eje, lo que percibe el diseñador es la rigidez torsional, k = G·J/L, en N·m/rad: el par necesario para girar la pieza un radián. Reúne el material (G), la sección (el momento polar de inercia J) y la longitud (L). Dos ejes del mismo acero, uno macizo y otro tubular, tienen el mismo G y rigideces torsionales muy diferentes. Confundir las dos cosas es uno de los errores más comunes en los reportes de ensayo de torsión, porque la pendiente de la curva par × ángulo es G·J/L, y no G.

Fórmula del módulo de corte y unidades

La definición se escribe en tres pasos. El esfuerzo es τ = F/A, en N/mm², que es lo mismo que MPa. La distorsión es γ ≈ Δx/h, una razón entre dos longitudes y, por lo tanto, adimensional; la aproximación vale porque, en los ángulos pequeños del régimen elástico, el ángulo en radianes y su tangente son prácticamente iguales. El módulo es G = τ/γ y tiene la unidad del esfuerzo.

El radián no es un detalle de notación. Es el ángulo cuya medida es la razón entre el arco y el radio, y por eso la distorsión resulta Δx/h. Escribir la distorsión en grados multiplica el denominador por 180/π = 57.3, y el G calculado resulta 57.3 veces menor que el real: un acero de 79 GPa pasa a parecer un polímero de 1.4 GPa (ejercicio 3). Toda fórmula con ángulo en este tema, ya sea γ o el ángulo de torsión θ, usa radianes.

En los metales, G se escribe en GPa (77 GPa) o en MPa (77,000 MPa), como hace la NBR 8800. En memorias de cálculo antiguas aparece el kgf/cm²: 77,000 MPa equivalen a alrededor de 7.85 × 10⁵ kgf/cm², con 1 kgf/cm² = 0.0980665 MPa. En kN/cm², unidad de algunos programas de cálculo estructural, son 7,700 kN/cm². En los elastómeros el valor es tan bajo que se usa MPa directamente. La tabla resume las fórmulas de la definición y las que llevan G a la pieza:

Magnitud	Fórmula	Unidad y validez
Esfuerzo cortante medio	τ = F / A	MPa; F paralela a la cara de área A
Distorsión	γ ≈ Δx / h	rad; pequeñas deformaciones
Módulo de corte	G = τ / γ	GPa; solo en el tramo lineal
Relación con E y ν	G = E / [2(1 + ν)]	solo material isótropo
Ángulo de torsión de un eje circular	θ = T·L / (G·J)	rad; régimen elástico
G medido por torsión	G = (ΔT / Δθ)·L / J	pendiente del tramo lineal

Relación entre E, G y ν: G = E/[2(1 + ν)]

En un material isótropo, con las mismas propiedades en todas las direcciones, el módulo de corte no es una constante independiente: queda determinado por el módulo de Young E y por el coeficiente de Poisson ν. La relación es G = E/[2(1 + ν)], y gracias a ella las normas de diseño dan G sin exigir un ensayo de torsión. Entender de dónde viene muestra también cuándo deja de valer.

La deducción en cuatro pasos

El esquema de abajo sigue el razonamiento de izquierda a derecha. Primero, un cuadrado en corte puro: los esfuerzos τ en las cuatro caras lo transforman en un rombo, y una de las diagonales se alarga mientras la otra se acorta. Después, el mismo estado de esfuerzos visto en un cuadrado girado 45°: en las caras de ese cuadrado no hay cortante, solo una tracción σ₁ = +τ en una dirección y una compresión σ₂ = −τ en la otra. Por último, la cuenta que relaciona las dos lecturas, que la lista debajo del esquema detalla paso a paso.

1. Hooke generalizada en la diagonal traccionada. La deformación en la dirección 1 tiene dos partes: el alargamiento causado por σ₁ y el alargamiento adicional causado por la compresión σ₂ en la dirección perpendicular, por el efecto de Poisson. ε₁ = (σ₁ − ν·σ₂)/E = (τ + ν·τ)/E = τ(1 + ν)/E.
2. Geometría del rombo. Cuando el ángulo recto de un cuadrado cambia en un γ pequeño, la diagonal se alarga una fracción γ/2 de su longitud: ε_45° = γ/2.
3. Las dos son la misma deformación. La diagonal del cuadrado original es la dirección 1 del cuadrado girado, así que γ/2 = τ(1 + ν)/E.
4. Despejando τ/γ: τ/γ = E/[2(1 + ν)], y τ/γ es, por definición, G.

La deducción usó un único E y un único ν para las direcciones 1 y 2. Eso es lo que restringe la fórmula a los materiales isótropos. En compuestos de fibra, madera y láminas roladas con textura marcada, la rigidez cambia con la dirección, y el módulo de corte en el plano, llamado G₁₂, es una constante independiente que debe medirse. Aplicar la fórmula a un laminado de carbono y epoxi, por ejemplo, puede errar G por un factor de varias veces.

G siempre queda entre E/3 y E/2

En los materiales comunes, ν va de cerca de cero, como en el corcho, a cerca de 0.5, como en el caucho, que casi no cambia de volumen. Sustituyendo los extremos en la fórmula, G va de E/2 (ν = 0) a E/3 (ν = 0.5). Con ν = 0.3, valor de diseño del acero, G = E/2.6 = 0.385·E; con ν = 0.25, G = 0.4·E; con ν = 0.2, valor de diseño del concreto, G = E/2.4. Es una comprobación rápida de cualquier tabla: un G mayor que la mitad de E, en un material isótropo, indica un error de captura o de unidad. El intervalo teórico completo de ν, que va de −1 a 0.5 e incluye los materiales auxéticos, está en el artículo sobre el coeficiente de Poisson.

El mismo razonamiento relaciona G con el módulo volumétrico K, la rigidez frente al cambio de volumen: en un material isótropo, E = 2G(1 + ν) = 3K(1 − 2ν), y dos cualesquiera de estos módulos determinan los demás. Para el acero de la NBR 8800, con E = 200 GPa y ν = 0.3, K = 200/[3 × (1 − 0.6)] = 166.7 GPa, más del doble de G. En el caucho ocurre lo contrario: con ν cerca de 0.5, K resulta miles de veces mayor que G, y el material casi no cambia de volumen, solo de forma.

La misma relación, invertida, da el coeficiente de Poisson a partir de dos módulos medidos: ν = E/(2G) − 1. Así obtienen ν los métodos de vibración sin extensómetro transversal, y es también una forma de comprobar si el E y el G de una ficha técnica son coherentes entre sí (ejercicio 1).

Por qué la fórmula no coincide exactamente con las tablas

Calculado con la fórmula, el acero de la tabla de Callister y Rethwisch (E = 207 GPa, ν = 0.30) daría 207/2.6 = 79.6 GPa, pero la misma tabla lista 83 GPa medidos. En el cobre y en el titanio, el valor calculado queda alrededor de 11 % por debajo del tabulado. Las causas son dos. Primero, el E, el G y el ν de las tablas vienen de mediciones independientes, hechas en muestras y aleaciones que no son las mismas. Segundo, un metal policristalino solo es isótropo en promedio: los granos son cristales anisótropos, y la laminación y el trefilado los orientan, lo que crea textura. La fórmula es una buena estimación, con error de algunos por ciento en los metales comunes; cuando el diseño depende de G con más precisión, como en resortes y barras de torsión, se mide.

Valores del módulo de corte por material

Los valores de G abarcan cinco órdenes de magnitud, desde los metales más rígidos hasta los elastómeros. La gráfica de abajo usa escala logarítmica, en la que cada división multiplica el valor por diez: los metales quedan entre 17 y 160 GPa, el concreto cerca de 11 GPa, los polímeros rígidos cerca de 1 GPa y el caucho en el orden de los megapascales. En los metales, las barras son valores medidos; en el concreto, el valor de la NBR 6118 (la norma brasileña de diseño de estructuras de concreto) para un C30; en los polímeros, estimaciones calculadas a partir de E y ν, con la franja clara que muestra la variación entre grados.

La tabla presenta los metales con los tres módulos juntos, con los mismos valores usados en los artículos sobre módulo de elasticidad y coeficiente de Poisson. Las filas de acero muestran los tres orígenes de valor que circulan: la norma de diseño, el libro de texto y la ficha de un acero específico.

Material	E (GPa)	ν	G (GPa)
Acero estructural, diseño (NBR 8800)	200	0.3	77
Acero, valor didáctico (Callister)	207	0.30	83
Acero A36 (ficha MatWeb/ASM)	200	0.26	79.3
Tungsteno	407	0.28	160
Níquel	207	0.31	76
Cobre	110	0.34	46
Titanio	107	0.34	45
Latón	97	0.34	37
Aluminio	69	0.33	25
Magnesio	45	0.29	17

Fuentes: ABNT NBR 8800 (la norma brasileña de estructuras de acero y mixtas; inciso 4.5.2.9, verificado en el texto de 2008); Callister y Rethwisch, Ciência e Engenharia de Materiais, Tabla 6.1, para los demás metales; ficha MatWeb/ASM para el A36. Algunas tablas en internet dan para el cobre cerca de 63 GPa, un valor incompatible con el E de 110 GPa: por la fórmula, ningún ν entre 0 y 0.5 llevaría a más de 55 GPa. El valor medido queda entre 44 y 46 GPa.

Fuera de los metales, la misma cuenta con los E y ν de los artículos del sitio da el orden de magnitud: el vidrio sodocálcico, con E = 69 GPa y ν = 0.22, tiene G ≈ 69/2.44 = 28 GPa, casi lo mismo que el aluminio, pero se rompe sin deformación plástica. La madera y los compuestos de fibra quedan fuera de esta tabla, porque tienen un G para cada plano y requieren ensayo (vea la sección de medición).

Módulo de corte del acero: ¿77, 80 u 83 GPa?

El módulo de corte del acero queda entre 77 y 83 GPa, y los tres números que más circulan son correctos, cada uno en su contexto. La NBR 8800, norma brasileña de estructuras de acero y mixtas, fija E = 200,000 MPa, ν = 0.3 y G = 77,000 MPa; la cuenta 200/2.6 = 76.9 GPa muestra que los tres valores son coherentes entre sí. Quien diseña con la NBR 6118, que adopta E = 210 GPa para el acero de refuerzo, y aplica ν = 0.3, llega a 210/2.6 = 80.8 GPa. Las fichas de aceros específicos dan de 79 a 80 GPa, como el A36 con 79.3 GPa, y el Callister reporta 83 GPa como valor didáctico. Las tablas que indican "80 a 85 GPa" parten de un E entre 207 y 210 GPa. La regla práctica es usar el G de la misma fuente que dio el E del cálculo. Combinar E = 210 GPa con G = 77 GPa, por ejemplo, implica un ν de 0.36, que ningún acero tiene. Los valores de E por tipo de acero están en el artículo sobre el módulo de elasticidad del acero.

Módulo de corte del concreto: G_c = E_cs/2.4 según la NBR 6118

La ABNT NBR 6118:2023 (la norma brasileña de diseño de estructuras de concreto), en el inciso 8.2.9, permite adoptar para el concreto ν = 0.2 y un módulo de elasticidad transversal G_c = E_cs/2.4, siempre que los esfuerzos de compresión queden por debajo de 0.5 f_c y los de tracción por debajo de la resistencia a la tracción f_ct. El 2.4 no es empírico: es 2 × (1 + 0.2), es decir, la misma fórmula isotrópica con el ν del concreto. E_cs es el módulo secante, calculado a partir del f_ck y del agregado, como muestra el artículo sobre el módulo de elasticidad del concreto. Con agregado de granito, los valores son:

Clase	Ecs (GPa)	Gc = Ecs/2.4 (GPa)
C25	24.2	10.1
C30	26.8	11.2
C40	31.9	13.3

La condición de esfuerzo importa. Por encima de ella, el concreto se microfisura, las fisuras se abren en dirección perpendicular a la tracción, y la rigidez al corte cae muy por debajo del G_c elástico. Por eso el valor de la norma sirve para el cálculo de deformaciones en servicio, no para el comportamiento cercano a la rotura. Los valores genéricos de "concreto = 21 GPa", que aparecen en tablas extranjeras sin clase ni agregado, no siguen la NBR 6118 y no deben usarse en un diseño en Brasil.

Polímeros y caucho

En los polímeros, G no es una constante del material de la misma forma que en los metales. Son viscoelásticos: parte de la deformación tarda en aparecer y en desaparecer, y la rigidez medida depende de la temperatura, del tiempo de carga y de la frecuencia. Cerca de la temperatura de transición vítrea, G puede caer cien veces en pocas decenas de grados. Bajo carga oscilante, el módulo se divide en dos partes, el módulo complejo G* = G' + iG'': G' es la parte elástica, la energía almacenada y devuelta en cada ciclo, y G'' es la parte viscosa, la energía disipada como calor. Ese es el resultado del análisis dinámico-mecánico (DMA).

Para una estimación de diseño a temperatura ambiente, la fórmula isotrópica da el orden de magnitud con los E y ν de los artículos del sitio: el policarbonato, con E = 2.38 GPa y ν = 0.36, tiene G ≈ 0.88 GPa; el PVC rígido, con E de 2.41 a 4.14 GPa y ν = 0.38, queda entre 0.87 y 1.5 GPa; el nailon 6,6, con E de 1.59 a 3.79 GPa y ν = 0.39, entre 0.57 y 1.4 GPa. En el caucho, con ν cerca de 0.5, G ≈ E/3; para el intervalo de E de 0.01 a 0.1 GPa, eso da de cerca de 3 a 33 MPa. Los compuestos blandos quedan por debajo de ese intervalo: la especificación AASHTO LRFD de puentes indica, para los elastómeros comunes de los apoyos, con dureza de 50 a 60 Shore A, un G entre 0.55 y 1.2 MPa (0.080 a 0.175 ksi), y la tabla clásica de Crandall, Dahl y Lardner (An Introduction to the Mechanics of Solids) da 0.3 MPa para el caucho blando. En los elastómeros, el valor depende mucho de la dureza y de la formulación del compuesto, y el fabricante del componente debe proporcionar el G medido a la temperatura de uso.

Cómo se mide el módulo de corte

Medir G es medir un esfuerzo cortante y una distorsión al mismo tiempo, en la propia probeta, dentro del tramo lineal. Los métodos difieren en la forma de generar el corte: torsión de una barra, vibración torsional, una probeta con muesca que concentra el corte en un plano, o una onda que atraviesa la muestra. El ensayo de tracción simple no da G: da E, y solo con ν medido en el mismo ensayo, y para material isotrópico, se estima G con la fórmula.

Ensayo de torsión (ASTM E143)

La torsión de una barra circular es la forma más limpia de obtener corte puro, porque cada punto de la superficie queda bajo τ sin esfuerzo normal. La ASTM E143-20 normaliza la determinación de G por torsión, a temperatura ambiente, para materiales estructurales en los que la fluencia lenta (creep) sea despreciable durante el ensayo. El método aplica un par de torsión creciente y registra el ángulo de torsión entre dos secciones de la longitud calibrada; G se obtiene de la pendiente del tramo recto de la curva par × ángulo, G = (ΔT/Δθ)·L/J, donde J = π·d⁴/32 es el momento polar de inercia de la sección maciza.

En la foto, una barra de acero después del ensayo de torsión: la línea que se pintó recta a lo largo de la barra se convirtió en una hélice. El ángulo que esa línea forma con el eje es la deformación por corte, y con ella se calcula el módulo G.

En la superficie, esa distorsión vale γ = r·θ/L, con r el radio, θ el ángulo de torsión y L la longitud entre las secciones medidas. Es nula en el centro y máxima en la superficie, igual que el esfuerzo, y la razón entre ambos es G en cualquier radio mientras el material sea elástico. La probeta, la sujeción, la velocidad y la lectura de la curva hasta la rotura están en el artículo sobre ensayo de torsión; para el módulo, cuatro cuidados deciden el resultado:

• Pendiente, no un punto aislado. La ASTM E143 obtiene G de la pendiente del tramo lineal, ajustada a varios puntos. Un punto aislado arrastra el ángulo de asentamiento de las mordazas al inicio del ensayo y puede errar algunos por ciento (ejercicio 2).
• Ángulo en la longitud calibrada. El giro del cabezal suma la holgura de las mordazas y la deformación del conjunto. Para G, el ángulo se mide entre dos secciones de la probeta o se corrige con la rigidez del sistema.
• Diámetro medido. El diámetro entra a la cuarta potencia en J: 1 % de error en el diámetro se convierte en cerca de 4 % de error en G.
• Alineación y estado del material. La norma señala los esfuerzos residuales, la concentricidad, el espesor de pared de los tubos, la temperatura y la alineación axial como factores que afectan el resultado. En tubos, J = π·(D⁴ − d⁴)/32, y el espesor de pared debe medirse.

Vibración por impulso (ASTM E1876)

La ASTM E1876-22 obtiene E, G y ν dinámicos sin cargar la pieza hasta esfuerzos de ensayo: una barra rectangular o cilíndrica recibe un golpe ligero, y un sensor capta las frecuencias naturales de vibración. La frecuencia de flexión da E; la frecuencia de torsión da G; ν se obtiene de ν = E/(2G) − 1. El método es rápido, repetible y no destructivo, y por eso se usa en el control de calidad de cerámicas, refractarios y metales; la distinción entre los ensayos que consumen la muestra y los que la conservan está en ensayos destructivos y no destructivos. El valor dinámico no tiene por qué coincidir con el estático, sobre todo en polímeros y concreto, y una especificación que pide el valor estático debe respetarse.

Compuestos: muesca en V (ASTM D5379 y D7078)

En un laminado de fibra, G₁₂ tiene que medirse, porque la fórmula isotrópica no aplica. Los dos métodos más usados concentran el corte en una región entre dos muescas en V. En la ASTM D5379, la probeta es una viga cargada por los bordes (método Iosipescu); en la ASTM D7078, se sujeta por las caras en dos rieles, lo que permite fuerzas mayores y un área útil mayor. En ambos casos, dos galgas extensiométricas pegadas a +45° y −45° en el centro de la probeta dan la distorsión, γ = ε₊₄₅ − ε₋₄₅, y el resultado es un módulo de cuerda entre dos niveles de deformación, válido solo para el plano ensayado. El dispositivo se monta en una máquina universal de ensayos; los detalles del ensayo están en el artículo sobre ensayo de corte.

Otros ensayos en la máquina universal: ±45°, corte cuádruple y núcleo de sándwich

Otros tres métodos obtienen G de un ensayo común de tracción o de compresión, con el dispositivo adecuado y medición de la deformación en la probeta. En la ASTM D3518/D3518M, se tracciona un laminado con fibras a +45° y −45°; el esfuerzo cortante en el plano es la mitad del esfuerzo axial, τ₁₂ = P/(2A), la distorsión es la suma de las deformaciones longitudinal y transversal en valor absoluto, γ₁₂ = ε_x − ε_y, y G₁₂ se obtiene de la pendiente de τ₁₂ × γ₁₂. Es el camino más sencillo para compuestos, porque usa la probeta recta de tracción. En la ISO 1827, cuatro bloques de caucho pegados entre placas rígidas se someten a corte al mismo tiempo; el módulo se obtiene de la fuerza y del desplazamiento de las placas, y el mismo arreglo mide la adherencia del caucho al metal. En la ASTM C273/C273M, el núcleo de un panel sándwich, como espuma o panal de abeja, se pega entre dos placas que se deslizan una sobre otra, y el ensayo da el módulo y la resistencia al corte del núcleo.

Polímeros: DMA

En polímeros y elastómeros, el G que interesa al diseño es el de la temperatura y la frecuencia de uso. El análisis dinámico-mecánico aplica una deformación oscilante pequeña, en torsión o en corte, y mide G' y G'' en un barrido de temperatura o de frecuencia; los métodos están reunidos en la serie ISO 6721. El resultado muestra dónde se ablanda el material, y es más útil que un valor único de tabla.

Suelos: G₀ con bender elements y columna resonante

En suelos, G no es constante: disminuye a medida que aumenta la distorsión. El valor de referencia es G₀, o G_máx, de pequeñas deformaciones, usado en diseño sísmico y en cimentaciones de máquinas. En laboratorio se obtiene con bender elements, pequeños transductores piezoeléctricos instalados en la parte superior y en la base de una probeta triaxial (ASTM D8295-19): se mide el tiempo que la onda de corte tarda en atravesar la muestra, y G₀ = ρ·V_s², con ρ la densidad y V_s la velocidad de la onda. La columna resonante (ASTM D4015-21) excita la probeta en torsión y da la curva de G y del amortiguamiento en función de la distorsión. El ensayo triaxial en sí está en ensayo triaxial, y la línea de equipos de mecánica de suelos de Biopdi, en prensa triaxial.

La tabla resume los métodos, el material en que se usa cada uno y lo que entrega:

Método	Norma	Material típico	Qué entrega
Torsión de barra o tubo	ASTM E143-20	metales y materiales estructurales	G estático por la pendiente par × ángulo
Vibración por impulso	ASTM E1876-22	metales, cerámicas, refractarios	E, G y ν dinámicos
Viga con muesca en V	ASTM D5379	compuestos de fibra	G12 de cuerda en un plano
Riel con muesca en V	ASTM D7078	compuestos de fibra	G12 de cuerda, área útil mayor
Tracción de laminado ±45°	ASTM D3518/D3518M	compuestos de fibra	G12 con probeta recta
Corte cuádruple	ISO 1827	caucho	G del compuesto y adherencia al metal
Núcleo entre placas	ASTM C273/C273M	núcleos de sándwich	G y resistencia del núcleo
DMA	serie ISO 6721	polímeros y elastómeros	G' y G'' por temperatura y frecuencia
Bender elements	ASTM D8295-19	suelos	G0 = ρ·Vs²
Columna resonante	ASTM D4015-21	suelos	G y amortiguamiento × distorsión

Dónde interviene el módulo de corte en el diseño

G aparece siempre que la pieza trabaja a torsión o a distorsión y hay que controlar la deformación, no solo la resistencia:

• Ejes y flechas de transmisión: el ángulo de torsión θ = T·L/(G·J) limita el diseño por rigidez, porque un giro excesivo desalinea los engranes y excita vibración torsional. La ASTM E143 menciona los ejes rotatorios como aplicación típica de G.
• Resortes helicoidales: el alambre de un resorte de compresión trabaja a torsión, y la rigidez del resorte es k = G·d⁴/(8·D³·n), donde d es el diámetro del alambre, D el diámetro medio y n el número de espiras activas. E ni siquiera aparece en el cálculo (ejercicio 5).
• Perfiles de acero: el pandeo lateral-torsional de vigas depende de la rigidez a torsión del perfil, que es G por la constante de torsión de la sección. Ahí es donde los 77,000 MPa de la NBR 8800 (la norma brasileña de diseño de estructuras de acero) entran en el cálculo de estructuras metálicas.
• Concreto: en vigas peraltadas, muros-columna y núcleos de edificios, la deformación por fuerza cortante deja de ser despreciable frente a la de flexión, y entra el G_c de la NBR 6118 (la norma brasileña de diseño de estructuras de concreto).
• Soportes antivibratorios y apoyos de elastómero: aquí se busca un G bajo. Un apoyo de hule permite que la estructura se desplace horizontalmente con poca fuerza y aísla la vibración; el diseño del apoyo parte del G del compuesto.
• Geotecnia: la respuesta de un terreno a un sismo o a la vibración de una máquina depende de G₀ y de la curva de degradación de G con la distorsión.

Cómo interpretar el módulo de corte

Las dudas siguientes son las que surgen cuando un valor de G sale de un ensayo, de una ficha técnica o de una norma y hay que usarlo en un cálculo.

El ensayo dio 79 GPa y la norma dice 77 GPa. ¿El material está fuera de especificación?

No. Los 77 GPa de la NBR 8800 (norma brasileña de estructuras de acero) son un valor de diseño, coherente con E = 200 GPa y ν = 0.3; el valor medido en un acero real suele quedar entre 77 y 83 GPa, según la aleación y la textura. Una diferencia de 2.6 % está dentro de la variación del material y de la incertidumbre de la medición: tan solo el diámetro, medido con 0.01 mm de error en una barra de 6 mm, ya mueve G un 0.7 %. El G medido sirve para verificar el material o para cálculos que exijan precisión; el diseño conforme a la norma sigue con 77 GPa.

¿Puedo calcular G a partir del E del ensayo de tracción?

En un metal común, sí, como estimación: con el E medido y el ν medido en el mismo ensayo, o el ν de referencia del material, la fórmula isotrópica se equivoca en algunos puntos porcentuales. En compuestos, madera, láminas con textura marcada y piezas impresas en 3D, no: el material no es isotrópico y G requiere su propio ensayo. En polímeros, la estimación solo vale para la temperatura y la velocidad a las que se midió E.

¿La pendiente de la curva par × ángulo es G?

No directamente. La pendiente, en N·m/rad, es la rigidez torsional G·J/L de la probeta. Para llegar a G se multiplica por la longitud útil y se divide entre el momento polar de inercia. Un reporte que da la pendiente sin J ni L no informa el módulo del material, y dos probetas de diámetros distintos del mismo acero dan pendientes diferentes y el mismo G.

¿El G de una ficha técnica de compuesto o de madera vale para cualquier dirección?

No. En un material anisotrópico hay varios módulos de corte, uno por cada plano: G₁₂, G₁₃ y G₂₃ en un laminado, o G_LR, G_LT y G_RT en la madera. Un valor sin el plano no sirve para diseño. El ensayo con entalla en V mide un plano por probeta.

¿Por qué el G dinámico difiere del G medido por torsión?

Porque los dos métodos solicitan el material de maneras distintas. La vibración usa deformaciones muy pequeñas y rápidas, sin tiempo para la componente viscosa ni para microdeslizamientos; el ensayo estático dura segundos o minutos. En metales, las dos lecturas suelen quedar cercanas; en polímeros, concreto y suelos, el valor dinámico tiende a ser mayor. La norma de diseño o la especificación indican cuál usar.

¿La temperatura y el tratamiento térmico cambian G?

El tratamiento térmico casi no lo cambia: G depende de los enlaces entre los átomos, y lo que el tratamiento modifica es la resistencia, no la rigidez. La temperatura sí: en los metales G disminuye lentamente con el calentamiento, en la misma proporción que E, y en los polímeros cae mucho cerca de la transición vítrea. Un G de tabla vale para temperatura ambiente.

Ejercicios resueltos

Los ejercicios siguen el orden del artículo: la coherencia entre E, G y ν, la medición por torsión, el error de los grados y tres aplicaciones de diseño. Las relaciones entre E, G y ν del acero y del aluminio con valores de norma ya están resueltas en los artículos sobre el coeficiente de Poisson y el módulo de elasticidad, y no se repiten aquí.

Ejercicio 1: ν a partir de E y G medidos

Un ensayo de vibración por impulso en una barra de acero da E = 206 GPa y G = 80.0 GPa. Calcule ν y verifique qué pasa si E y G provienen de fuentes distintas.

1. ν = E/(2G) − 1 = 206/(2 × 80.0) − 1 = 206/160 − 1 = 1.2875 − 1 = 0.29, valor normal para acero.
2. Sensibilidad: si G fuera 79.0 GPa, ν = 206/158 − 1 = 0.304. Un error de 1.25 % en G cambió ν en 0.016, alrededor de 6 %. El ν calculado por este camino es muy sensible a la calidad de ambas mediciones.
3. Mezcla de fuentes: E = 210 GPa (NBR 6118, norma brasileña de estructuras de concreto) con G = 77 GPa (NBR 8800, norma brasileña de estructuras de acero) da ν = 210/154 − 1 = 0.36, fuera del intervalo de los aceros. El número es la señal de que los dos módulos no pertenecen al mismo conjunto.

Ejercicio 2: G por la pendiente en el ensayo de torsión

Una probeta de acero maciza con d = 6.00 mm se ensaya a torsión, con el ángulo medido entre dos secciones separadas L = 100 mm. En el tramo lineal, el registro muestra T₁ = 1.00 N·m con θ₁ = 0.62° y T₂ = 4.00 N·m con θ₂ = 2.33°. Calcule G y compárelo con el cálculo hecho solo con el último punto.

1. Momento polar de inercia: J = π × 6.00⁴ / 32 = π × 1,296 / 32 = 127.23 mm⁴.
2. Variaciones: ΔT = 4.00 − 1.00 = 3.00 N·m = 3,000 N·mm; Δθ = 2.33 − 0.62 = 1.71° = 1.71 × π/180 = 0.029845 rad.
3. Módulo: G = ΔT·L / (J·Δθ) = 3,000 × 100 / (127.23 × 0.029845) = 300,000 / 3.7973 = 79,000 MPa = 79.0 GPa.
4. Solo con el último punto: θ₂ = 2.33° = 0.040666 rad, y G = 4,000 × 100 / (127.23 × 0.040666) = 400,000 / 5.1741 = 77,300 MPa = 77.3 GPa, 2.2 % menos. La recta no pasa por el origen: los 0.05° de acomodo del inicio entran completos en el punto aislado y desaparecen en la diferencia.
5. Verificación del régimen elástico: τ_máx = 16·T/(π·d³) = 16 × 4,000 / (π × 216) = 64,000 / 678.58 = 94.3 MPa, por debajo de la fluencia en cortante de un acero común (alrededor de 144 MPa para una fluencia de 250 MPa en tracción). La distorsión en la superficie es γ = τ/G = 94.3 / 79,000 = 1.19 × 10⁻³ rad.

En cuanto a la incertidumbre: una resolución angular de 0.018° representa 1.1 % de Δθ = 1.71°, y una de 0.005 N·m representa 0.17 % de ΔT = 3.00 N·m. Un tramo más largo, más puntos en el ajuste y el diámetro medido en varias posiciones reducen la incertidumbre. Con 4 N·m, el ensayo cabe en una máquina de torsión de 5 N·m.

Ejercicio 3: el error de los grados

En el ejercicio 2, el técnico usó Δθ = 1.71 directamente en la fórmula, sin convertirlo a radianes. ¿Qué G obtuvo?

1. G = 300,000 / (127.23 × 1.71) = 300,000 / 217.57 = 1,379 MPa = 1.38 GPa.
2. Razón: 79.0 / 1.38 = 57.3 = 180/π. El acero "se convirtió" en un polímero rígido.

Un G de acero por debajo de 70 GPa o por encima de 90 GPa exige revisar las unidades antes de sacar cualquier conclusión sobre el material.

Ejercicio 4: ángulo de torsión de un eje

Un eje macizo de acero con d = 40 mm y L = 1.2 m transmite T = 500 N·m. Calcule el ángulo de torsión con G = 77 GPa y con G = 83 GPa, y el esfuerzo máximo.

1. J = π × 40⁴ / 32 = π × 2,560,000 / 32 = 251,327 mm⁴.
2. Rigidez torsional con G = 77 GPa: G·J/L = 77,000 × 251,327 / 1,200 = 1.613 × 10⁷ N·mm/rad = 16.1 kN·m/rad.
3. θ = T·L / (G·J) = 500,000 × 1,200 / (77,000 × 251,327) = 6.0 × 10⁸ / 1.935 × 10¹⁰ = 0.0310 rad = 1.78°.
4. Con G = 83 GPa: θ = 6.0 × 10⁸ / 2.086 × 10¹⁰ = 0.0288 rad = 1.65°, 7.2 % menos.
5. τ_máx = 16 × 500,000 / (π × 40³) = 8,000,000 / 201,062 = 39.8 MPa, igual en ambos casos.

El esfuerzo no depende de G; el ángulo sí. En un diseño limitado por rigidez, elegir entre el valor de norma y el valor medido cambia el resultado en la misma proporción.

Ejercicio 5: rigidez de un resorte helicoidal

Un resorte de compresión tiene alambre de acero con d = 2.0 mm, diámetro medio D = 20 mm y n = 10 espiras activas. El fabricante del alambre informa G = 79 GPa. Calcule la rigidez y el efecto de usar 77 GPa.

1. k = G·d⁴ / (8·D³·n) = 79,000 × 2.0⁴ / (8 × 20³ × 10) = 79,000 × 16 / 640,000 = 1,264,000 / 640,000 = 1.98 N/mm.
2. Con 77 GPa: 77,000 × 16 / 640,000 = 1.93 N/mm, 2.5 % menos.

Como k es proporcional a G, la tolerancia de rigidez de un resorte de precisión consume buena parte del margen solo por la elección del valor de G. Por eso los fabricantes de resortes trabajan con el G del alambre que compran, y no con un valor genérico.

Ejercicio 6: G de un concreto C30 según la NBR 6118

Estime el módulo de elasticidad transversal de un concreto C30 con agregado grueso de granito y la distorsión bajo un esfuerzo cortante de servicio de 1.0 MPa.

1. Según el artículo sobre el módulo de elasticidad del concreto: E_ci = 5,600 × √30 = 30,672 MPa; α_i = 0.8 + 0.2 × 30/80 = 0.875; E_cs = 0.875 × 30,672 = 26,838 MPa.
2. G_c = E_cs / 2.4 = 26,838 / 2.4 = 11,183 MPa ≈ 11.2 GPa.
3. Verificación: E_cs / [2 × (1 + 0.2)] da el mismo valor, porque 2.4 = 2 × 1.2.
4. Distorsión: γ = τ/G_c = 1.0 / 11,183 = 8.9 × 10⁻⁵ rad.

El concreto tiene alrededor de un séptimo del G del acero (77 / 11.2 = 6.9). El valor solo es válido mientras los esfuerzos se mantengan dentro de los límites del inciso 8.2.9 de la norma.

Errores comunes

Los errores siguientes aparecen en reportes de ensayo, memorias de cálculo y ejercicios:

• Usar grados en γ o en θ: G resulta 57.3 veces menor.
• Llamar G a la pendiente par × ángulo: esa pendiente es G·J/L, la rigidez de la pieza.
• Confundir el módulo con la resistencia al corte: uno es rigidez, en GPa; la otra es un esfuerzo de ruptura o de fluencia, en MPa. El dispositivo de corte de tornillos mide la segunda.
• Mezclar fuentes: el E de una norma con el G de otra genera un ν imposible.
• Aplicar G = E/[2(1 + ν)] a compuestos o madera.
• Calcular G con un punto aislado en lugar de la pendiente de varios puntos.
• Medir fuera del tramo lineal o en un material con fluencia lenta (creep) durante el ensayo, condición que la ASTM E143 excluye.
• Medir el ángulo por el giro de la mordaza sin corregir la rigidez del sistema.
• Tratar el G de un polímero como constante, sin temperatura ni tiempo de carga.
• Usar el G₀ de un suelo para deformaciones grandes, en las que G ya disminuyó.

Equipo para medir el módulo de corte

Para medir G por torsión, Biopdi fabrica la máquina de ensayo de torsión, con capacidades de 1, 5 y 10 N·m (otras bajo consulta), velocidad ajustable de 0.01 a 200 rpm, precisión angular de 0.018° y precisión de par de 0.005 N·m. Admite muestras de hasta 200 mm de longitud y diámetros de 1 a 8 mm y de 5 a 20 mm, el intervalo de la probeta de 6 mm del ejercicio 2. Las fotos siguientes muestran las dos versiones: a la izquierda, la Completa, que funciona de forma independiente, con consola de pantalla y teclado y software de adquisición; a la derecha, la Básica, con el motor y los dos mandriles sobre una base con riel, que se usa junto con la máquina universal Biopdi.

La máquina universal de ensayos participa en la medición de G por dos caminos. Primero, mide los datos de entrada de la fórmula isotrópica: el módulo de Young y el coeficiente de Poisson, en el ensayo de tracción (prueba de tensión) con extensómetro. Segundo, admite los dispositivos de corte; el de tornillos y pernos mide la resistencia al corte del sujetador, y no el módulo G, porque no registra la distorsión del material. La máquina universal Biopdi también puede recibir un módulo de torsión asociado a la tracción, para ensayos combinados, con configuración definida bajo consulta. El panel siguiente muestra la máquina, la función de cada parte y los dispositivos relacionados con el tema.

Por su intervalo de hasta 10 N·m, la máquina de torsión atiende alambres, hilos, tornillos pequeños y probetas de metal y polímero de diámetro pequeño. Un eje de 40 mm como el del ejercicio 4 ya trabaja con cientos de N·m: para pares mayores, consulte otras capacidades o los proyectos especiales. Las demás propiedades que se miden en la máquina universal están en propiedades mecánicas de los materiales, y puede solicitar una cotización para las probetas de su laboratorio.

Normas del módulo de corte

Las normas de ensayo indican cómo medir G en cada clase de material; las de diseño indican qué valor adoptar cuando no se mide. La tabla reúne las citadas en este artículo, con la edición verificada el 01/10/2026:

Norma	Qué trata	Edición
ASTM E143	módulo de corte por torsión, a temperatura ambiente	E143-20
ASTM E1876	E, G y ν dinámicos por excitación por impulso	E1876-22
ASTM D5379/D5379M	corte de materiales compuestos, viga con entalle en V	D5379/D5379M-19(2026)
ASTM D7078/D7078M	corte de materiales compuestos, riel con entalle en V	D7078/D7078M-20(2025)
ASTM D3518/D3518M	corte en el plano de materiales compuestos por tracción de laminado ±45°	D3518/D3518M-18(2025)
ASTM C273/C273M	módulo y resistencia al corte de núcleos de paneles sándwich	C273/C273M-20
ISO 1827	módulo de corte del caucho y adherencia a placas rígidas, cuádruple corte	ISO 1827:2022
ASTM D8295	velocidad de la onda de corte y G0 de suelos por bender elements	D8295-19
ASTM D4015	módulo y amortiguamiento de suelos en columna resonante	D4015-21
Serie ISO 6721	propiedades dinámico-mecánicas de plásticos (DMA)	no indicada
ABNT NBR 8800	norma brasileña de estructuras de acero y mixtas: E = 200,000 MPa, G = 77,000 MPa, ν = 0.3	2024 (versión corregida 2025); valores verificados en la de 2008
ABNT NBR 6118	norma brasileña de estructuras de concreto: ν = 0.2 y Gc = Ecs/2.4 (inciso 8.2.9)	2023, con la Enmienda 1:2026