Ley de Hooke: fórmula, gráfica y ejercicios resueltos

La ley de Hooke dice que, dentro del régimen elástico, la deformación de un cuerpo es proporcional a la fuerza que la provoca. En el resorte se escribe F = k·x: la fuerza elástica F (en newtons) es igual a la constante elástica k (en N/m) por la deformación x (en metros). En los materiales, la misma proporcionalidad aparece como σ = E·ε: el esfuerzo es igual al módulo de elasticidad por la deformación unitaria.

En una frase: la ley de Hooke dice que, en el régimen elástico lineal, la fuerza es proporcional a la deformación (F = k·x) y el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria (σ = E·ε), y solo es válida hasta el límite de proporcionalidad del material, que se mide en el ensayo de tracción (prueba de tensión).

Esta guía cubre las dos formas de la ley. Primero vienen el resorte, la gráfica, la constante elástica y el experimento. Después vienen la forma usada en la resistencia de materiales, la forma generalizada para esfuerzos en tres direcciones, los límites de validez de la ley, cómo se mide el módulo de elasticidad en una máquina universal de ensayos y siete ejercicios resueltos.

En la foto, una probeta de ensayo de acero sujeta en las mordazas de una máquina universal, con el extensómetro fijado en la longitud calibrada. Es este instrumento el que mide las deformaciones muy pequeñas del tramo en que la ley de Hooke es válida.

La tabla resume las dos formas de la ley, la relación que une una con la otra, k = E·A/L, explicada en la sección sobre la constante elástica, y la forma generalizada para piezas sometidas a esfuerzo en más de una dirección.

Forma	Fórmula	Constante	Dónde se usa
Resorte	F = −k·x	k, constante elástica (N/m)	Resortes, dinamómetros, física de bachillerato
Materiales	σ = E·ε	E, módulo de elasticidad (GPa)	Ensayo de tracción, resistencia de materiales, diseño estructural
Puente entre las dos	k = E·A/L	depende del material (E) y de la forma de la pieza (A y L)	Barras, cables y piezas bajo carga axial
Ley de Hooke generalizada (3D)	εx = [σx − ν(σy + σz)]/E	E y ν (y G = E/[2(1 + ν)])	Piezas sometidas a esfuerzo en más de una dirección, galgas extensiométricas (strain gauges), elemento finito

Qué es la ley de Hooke

La ley de Hooke es la relación lineal entre fuerza y deformación en un cuerpo elástico. Si una fuerza de 10 N estira un resorte 2 cm, una fuerza de 20 N estira el mismo resorte 4 cm. Al retirar la fuerza, el resorte regresa a su longitud original. Ese regreso completo es lo que define el comportamiento elástico.

Esta proporcionalidad está detrás de muchos cálculos de ingeniería. Es la que permite usar un resorte como instrumento de medición, en los dinamómetros y en las básculas de resorte, y dimensionar resortes de suspensión de vehículos y de mecanismos como los de relojes. Un resorte de suspensión con k = 15,000 N/m, comprimido 10 cm por el peso del auto, ejerce 15,000 × 0.10 = 1,500 N. En las estructuras, la misma ley, escrita en esfuerzo y deformación, se usa para calcular cuánto se deforman las vigas, columnas y cables de puentes y edificios bajo la carga de servicio, siempre que trabajen en el régimen elástico.

La ley lleva el nombre del inglés Robert Hooke (1635-1703), miembro de la Royal Society. En 1676 publicó el descubrimiento en forma de anagrama, "ceiiinosssttuv", al final del libro A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments. Era una manera de asegurar la prioridad sin revelar la idea. En 1678 llegó la solución, en el libro Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring: "ut tensio, sic vis", que quiere decir "como la extensión, así la fuerza". En el mismo texto, Hooke escribe que la fuerza de cualquier resorte está en la misma proporción que su extensión.

La forma que se usa hoy en ingeniería vino después. En 1807, Thomas Young describió la constante que relaciona el esfuerzo y la deformación de un material, lo que hoy se llama módulo de elasticidad o módulo de Young. La idea ya aparecía en trabajos de Euler (1727) y de Giordano Riccati (1782). Por eso la misma ley tiene dos caras: la del resorte, que se aprende en física, y la del material, que se mide en el laboratorio.

Fórmula de la ley de Hooke

La fórmula de la ley de Hooke para el resorte es:

F = −k · x

La deformación x es la diferencia entre la longitud del resorte deformado, L, y su longitud libre, L₀: positiva cuando el resorte se alarga, negativa cuando se comprime. La tabla reúne los símbolos y las unidades en el SI:

Símbolo	Magnitud	Unidad en el SI
F	Fuerza elástica, la que ejerce el resorte	newton (N)
k	Constante elástica del resorte	newton por metro (N/m)
x	Deformación, o elongación: x = L − L0	metro (m)

¿Por qué el signo negativo? Indica que la fuerza elástica tiene sentido opuesto al de la deformación. Si el resorte se alarga hacia abajo, la fuerza elástica actúa hacia arriba; si se comprime, actúa en el sentido de volver a extenderlo. Por eso se dice que la fuerza elástica es restauradora. El signo no quiere decir que k sea negativa. En la mayoría de los ejercicios solo interesa la magnitud, y la fórmula se usa como F = k·x.

¿Qué significa k? La constante elástica es la fuerza necesaria para deformar el resorte 1 metro. Un resorte de k = 200 N/m necesita 200 N para estirarse 1 m, o 10 N para estirarse 5 cm. Cuanto mayor es k, más rígido es el resorte.

Cuidado con las unidades. El error más común en los ejercicios es usar la deformación en centímetros con k en N/m. Convierta siempre: 5 cm = 0.05 m.

El resorte estirado almacena energía potencial elástica, dada por E_p = ½·k·x². Es la misma energía que el material devuelve al descargarse, la base del concepto de resiliencia de los materiales.

Gráfica de la ley de Hooke

La gráfica de la ley de Hooke es una recta que pasa por el origen. En el eje horizontal va la deformación x; en el vertical, la fuerza F. Tres lecturas salen directamente de la gráfica:

• La pendiente de la recta es la constante elástica: k = ΔF / Δx. Recta más inclinada, resorte más rígido.
• El área bajo la recta es la energía elástica almacenada, ½·k·x² (el área de un triángulo).
• El final de la recta es el límite de la ley, el límite de proporcionalidad, que se detalla más adelante. A partir de ahí la misma fuerza produce más deformación, y pasado el límite elástico el resorte ya no regresa a su tamaño original.

La gráfica de abajo muestra estas lecturas en un resorte de 200 N/m, que sigue la recta hasta 12 cm de alargamiento. Hasta ahí, duplicar la fuerza duplica el alargamiento. Después, la curva se acuesta: el resorte cede más de lo que predice F = k·x y queda con deformación permanente.

En la simulación de abajo usted cuelga masas de un resorte y ve cómo sucede esto, y también aplica esfuerzo a una probeta de acero, aluminio, cobre o polipropileno.

Constante elástica: qué hace más rígido a un resorte

La constante elástica no es una propiedad del material. Es la rigidez de la pieza, y depende del material y de la geometría. Dos barras del mismo acero, con la misma sección y longitudes de 1 m y 2 m, tienen el mismo módulo de elasticidad, pero la barra de 2 m tiene la mitad de la constante elástica. Para una barra en tracción o compresión:

k = E · A / L

donde E es el módulo de elasticidad del material (la rigidez del propio material, tratada en la sección sobre σ = E·ε), A es el área de la sección y L es la longitud. En un resorte helicoidal, el alambre trabaja a torsión, y la constante depende del módulo de corte G, el equivalente de E para la torsión: k = G·d⁴ / (8·D³·n), con d el diámetro del alambre, D el diámetro medio de la espira y n el número de espiras activas. Un alambre más grueso hace al resorte mucho más rígido (la cuarta potencia de d); una espira más ancha y más espiras hacen al resorte más suave.

La foto de abajo muestra este efecto en cuatro resortes helicoidales de acero: del mismo material, van del más flexible al más rígido conforme el alambre se hace más grueso.

Asociación de resortes. Cuando dos resortes trabajan juntos, la constante equivalente depende de cómo están conectados. En serie, uno después del otro, los dos reciben la misma fuerza y las deformaciones se suman, por eso el conjunto cede más que cada resorte solo. En paralelo, lado a lado, los dos sufren la misma deformación y las fuerzas se suman, por eso el conjunto es más rígido. La tabla resume las fórmulas:

Asociación	Constante equivalente	Efecto
En serie (uno después del otro)	1/keq = 1/k1 + 1/k2	Conjunto más suave que el resorte más suave
En paralelo (lado a lado)	keq = k1 + k2	Conjunto más rígido: las constantes se suman

Experimento de la ley de Hooke paso a paso

El experimento clásico mide la constante elástica de un resorte con material sencillo de laboratorio:

1. Sujete el resorte en un soporte vertical, con una escala al lado, y anote la longitud inicial L₀.
2. Cuelgue una masa conocida, espere a que el resorte se detenga y anote la nueva longitud L. La deformación es x = L − L₀.
3. Repita con masas mayores (por ejemplo 50, 100, 150 y 200 g).
4. Calcule la fuerza de cada punto, que es el peso: F = m·g, con g = 9.8 m/s² y la masa en kilogramos.
5. Trace la gráfica F × x. Si los puntos quedan alineados en una recta que pasa por el origen, el resorte obedece la ley de Hooke.
6. La pendiente de la recta es k. Con datos reales, que tienen dispersión, calcule la pendiente por regresión lineal en lugar de usar un solo punto.

La foto muestra este montaje: el resorte sujeto al soporte, las masas calibradas colgadas en el extremo y la escala al lado para leer la longitud.

Las principales fuentes de error son leer la escala con el resorte todavía oscilando, el paralaje en la lectura y usar masas demasiado pesadas, que llevan el resorte más allá del límite elástico. Al retirar las masas, verifique que el resorte haya regresado a L₀: si no regresó, los últimos puntos ya estaban fuera de la ley. El mismo razonamiento, con instrumentos mucho más precisos, es el del ensayo de tracción en una máquina universal de ensayos.

Ley de Hooke en la resistencia de materiales: σ = E·ε

En ingeniería, comparar fuerzas y alargamientos no basta, porque dependen del tamaño de la pieza. Por eso la ley de Hooke se escribe en magnitudes que no dependen de la geometría:

• Esfuerzo: σ = F / A₀, la fuerza dividida entre el área inicial de la sección, en pascales (normalmente MPa).
• Deformación unitaria: ε = ΔL / L₀, el alargamiento dividido entre la longitud inicial, adimensional (o en %).
• Módulo de elasticidad: E, la constante de proporcionalidad, en pascales (normalmente GPa).

σ = E · ε

En el diagrama esfuerzo-deformación, el módulo de elasticidad es la pendiente del tramo recto inicial. A diferencia de la constante k, es una propiedad del material: prácticamente no cambia con la forma de la pieza. Sustituyendo estas dos definiciones en σ = E·ε, se llega al alargamiento de una barra bajo carga axial, δ = F·L / (E·A). Es la misma relación k = E·A/L vista en la constante elástica, escrita para el alargamiento, y es la ecuación más usada en el dimensionamiento en el régimen elástico.

La ley de Hooke también es válida para el corte, en la forma τ = G·γ, con G el módulo de corte. En materiales isótropos, G, E y el coeficiente de Poisson ν se relacionan por G = E / [2(1 + ν)].

La tabla reúne los tres parámetros para metales comunes. Muestra, por ejemplo, que el acero es cerca de tres veces más rígido que el aluminio: bajo el mismo esfuerzo, una barra de aluminio se deforma tres veces más.

Metal	Módulo de elasticidad E (GPa)	Módulo de corte G (GPa)	Coeficiente de Poisson ν
Acero	207	83	0.30
Níquel	207	76	0.31
Cobre	110	46	0.34
Titanio	107	45	0.34
Latón	97	37	0.34
Aluminio	69	25	0.33
Magnesio	45	17	0.29
Tungsteno	407	160	0.28

Valores a temperatura ambiente, de Callister y Rethwisch, Materials Science and Engineering (Tabla 6.1). El módulo de elasticidad del acero está cerca de 200 GPa y varía poco con el contenido de carbono y el tratamiento térmico. En los polímeros el valor es mucho menor y varía con el proceso: el polipropileno está alrededor de 1.1 a 2 GPa, el policarbonato alrededor de 2.4 GPa y el polietileno de baja densidad entre 0.1 y 0.5 GPa. En el concreto, la ABNT NBR 6118 (la norma brasileña de diseño de estructuras de concreto) estima el módulo inicial a partir de la resistencia característica, E_ci = α_E·5600·√f_ck (en MPa), como se explica en el artículo sobre el módulo de elasticidad del concreto.

Ley de Hooke generalizada: esfuerzos en tres direcciones

La ley de Hooke generalizada es la extensión de la ley de Hooke al estado triaxial de esfuerzos: en un material elástico lineal, homogéneo e isótropo, bajo pequeñas deformaciones, cada deformación normal depende de los tres esfuerzos normales, porque cada esfuerzo alarga el material en su dirección y, por el efecto de Poisson, lo acorta en las otras dos.

La sección anterior trató un esfuerzo a la vez: σ = E·ε en la dirección de la carga y τ = G·γ en el corte. En una pieza real, un punto suele estar sometido a esfuerzos en más de una dirección, como en la pared de un recipiente a presión, en la superficie de un eje o en un bloque comprimido dentro de una matriz. La ley generalizada resuelve ese caso por superposición: calcula la deformación causada por σ_x sola, después la causada por σ_y y por σ_z, y las suma. Las constantes son las mismas del ensayo de tracción, el módulo de elasticidad E y el coeficiente de Poisson ν. La consecuencia aparece en el propio ensayo de tracción, y las diapositivas de Resistencia de Materiales de la UFJF la resumen así: "un estado uniaxial de esfuerzo genera un estado triaxial de deformación".

El esquema de abajo muestra la superposición en un cubo elemental. En los tres primeros cubos, un esfuerzo de tracción actúa solo: el cubo se alarga en su dirección y se acorta en las otras dos. En el cuarto, los tres actúan juntos, y cada dimensión final es la suma de los tres efectos. Con los esfuerzos del ejemplo, la dimensión z se acorta aun bajo tracción en z, porque la contracción de Poisson causada por σ_x y σ_y supera el alargamiento directo.

Las seis ecuaciones del material isótropo

Sumando los tres efectos en cada dirección, se llega a las tres ecuaciones de las deformaciones normales. Las tres de corte son independientes de ellas: cada esfuerzo cortante produce solo la distorsión de su propio plano.

• ε_x = [σ_x − ν(σ_y + σ_z)]/E
• ε_y = [σ_y − ν(σ_x + σ_z)]/E
• ε_z = [σ_z − ν(σ_x + σ_y)]/E
• γ_xy = τ_xy/G, γ_yz = τ_yz/G y γ_zx = τ_zx/G, con G = E/[2(1 + ν)]

La relación entre G, E y ν se deduce paso a paso en el artículo sobre el módulo de corte (módulo de cizallamiento). Las ecuaciones anteriores, presentes en los apuntes de Resistencia de Materiales de la UFJF y de la UFF, son válidas bajo estas hipótesis:

• Régimen elástico lineal: todos los esfuerzos por debajo del límite de proporcionalidad, tratado en la siguiente sección.
• Pequeñas deformaciones: es lo que permite sumar los efectos sin que uno altere la geometría sobre la que actúa el otro.
• Material homogéneo e isótropo: las mismas propiedades en todos los puntos y en todas las direcciones. Los metales policristalinos cumplen con esto en la práctica, porque los granos tienen orientación aleatoria; la madera y los compuestos, no.
• Efectos desacoplados: en el material isótropo, el esfuerzo cortante no altera las deformaciones normales, y el esfuerzo normal no causa distorsión.

El error más común es aplicar σ = E·ε dirección por dirección en un estado biaxial. En el bloque de acero del Ejercicio 6, con σ_x = 120 MPa y σ_y = −60 MPa, el cálculo uniaxial da ε_x 13% por debajo del valor correcto, porque ignora que la compresión en y alarga el bloque en x.

Forma matricial: flexibilidad y rigidez

Las mismas ecuaciones caben en una matriz, que es la forma que usan los programas de elementos finitos y las hojas de cálculo. En la forma de flexibilidad, las deformaciones se obtienen de los esfuerzos: {ε} = [S]{σ}. La tabla muestra el bloque de los esfuerzos normales: cada fila es una deformación, y cada columna, la contribución de un esfuerzo. Es la superposición del esquema anterior, escrita término a término.

Deformación	Término de σx	Término de σy	Término de σz
εx	1/E	−ν/E	−ν/E
εy	−ν/E	1/E	−ν/E
εz	−ν/E	−ν/E	1/E

La matriz completa es de 6 × 6, con los seis esfuerzos (σ_x, σ_y, σ_z, τ_yz, τ_zx, τ_xy) y las seis deformaciones. El bloque de corte es diagonal: cada distorsión depende solo de su esfuerzo, y el término de la diagonal es 1/G = 2(1 + ν)/E. Los términos que ligarían el esfuerzo normal con la distorsión, y el corte con la deformación normal, son cero en el material isótropo.

Invirtiendo la matriz, los esfuerzos se obtienen de las deformaciones: {σ} = [C]{ε}, la forma de rigidez. Todos los términos del bloque normal llevan el factor E/[(1 + ν)(1 − 2ν)], y la tabla muestra lo que multiplica a ese factor en cada posición:

Esfuerzo	Término de εx	Término de εy	Término de εz
σx	1 − ν	ν	ν
σy	ν	1 − ν	ν
σz	ν	ν	1 − ν

En el bloque de corte de la rigidez, el término de la diagonal es el mismo factor multiplicado por (1 − 2ν)/2, que es igual a G: se vuelve a τ = G·γ. Para el acero, con E = 200 GPa y ν = 0.3, el factor vale 200/(1.3 × 0.4) = 384.6 GPa, y el bloque normal queda con 269.2 GPa en la diagonal y 115.4 GPa fuera de ella. Las dos matrices están en las diapositivas 11 y 12 de la UFJF.

Distorsión γ y deformación tensorial: el factor 2

En las matrices anteriores, el corte entra por la distorsión de ingeniería γ, el ángulo que pierde la esquina del cubo, en radianes. La forma tensorial de la deformación usa otra magnitud: la componente de corte del tensor es ε_xy = γ_xy/2. Las dos describen la misma distorsión, pero cambiar una por otra produce un error de un factor 2 en el esfuerzo cortante. La advertencia está en la diapositiva 12 de la UFJF. En la práctica, conviene verificar en la documentación del software de elementos finitos o de extensometría cuál de las dos pide como entrada y cuál exporta.

Constantes de Lamé y forma tensorial

En la teoría de la elasticidad y en la geofísica, la ley generalizada suele escribirse con los esfuerzos en función de las deformaciones, usando las constantes de Lamé λ y μ, como en los apuntes de Constantes Elásticas del IAG-USP:

• σ_x = λ(ε_x + ε_y + ε_z) + 2μ·ε_x, y de la misma forma para y y z;
• τ_xy = 2μ·ε_xy = μ·γ_xy, y de la misma forma para los otros dos planos;
• en notación compacta, σ_ij = λ·ε_kk·δ_ij + 2μ·ε_ij, donde ε_kk es la suma de las tres deformaciones normales y δ_ij vale 1 cuando i = j y 0 en los demás casos.

La segunda constante es el propio módulo de corte, μ = G. La primera se relaciona con las constantes de ingeniería por λ = K − 2G/3, lo que da λ = E·ν/[(1 + ν)(1 − 2ν)]. Es exactamente el término fuera de la diagonal de la matriz de rigidez: 115.4 GPa para el acero del ejemplo anterior. Sumando λ al término 2μ, se obtiene la diagonal, 115.4 + 2 × 76.9 = 269.2 GPa, lo que confirma que las dos formas coinciden.

En la forma más general, σ_ij = C_ijkl·ε_kl. El tensor de rigidez C tiene 81 componentes, y las simetrías de los esfuerzos, de las deformaciones y de la energía de deformación reducen ese número a 21 constantes independientes en el material anisótropo más general. Cada simetría del material reduce la cuenta, según el tutorial de Nemeth publicado por la NASA (NASA/TM-2011-217314): 9 constantes en el material ortótropo, como la madera y el laminado unidireccional, 5 en el transversalmente isótropo, 3 en el cúbico y solo 2 en el isótropo. En el isótropo, cualquier par entre E, ν, G, K y λ define a los demás. El comportamiento de la madera y de los compuestos, con un coeficiente de Poisson para cada par de direcciones, está en el artículo sobre el coeficiente de Poisson, en la sección de materiales anisótropos.

Estado plano de esfuerzos y estado plano de deformación

Muchos problemas de ingeniería se resuelven en dos dimensiones, y la ley generalizada dice lo que ocurre en la tercera. Hay dos casos opuestos, y confundir uno con otro es un error frecuente:

• Estado plano de esfuerzos (σ_z = τ_zx = τ_yz = 0): placas delgadas y la superficie libre de cualquier pieza, donde se pega la galga extensométrica (strain gauge). Los esfuerzos en el plano se obtienen de las deformaciones por σ_x = E/(1 − ν²)·(ε_x + ν·ε_y), σ_y = E/(1 − ν²)·(ε_y + ν·ε_x) y τ_xy = G·γ_xy. El esfuerzo en z es cero, pero la deformación no: ε_z = −ν(σ_x + σ_y)/E.
• Estado plano de deformación (ε_z = γ_zx = γ_yz = 0): piezas largas, de sección constante e impedidas de deformarse a lo largo, como muros de contención, túneles, presas y tubos enterrados. La deformación en z es cero, pero el esfuerzo no: σ_z = ν(σ_x + σ_y).

Las expresiones están en las diapositivas 13 y 14 de la UFJF. La del estado plano de esfuerzos es la que convierte las lecturas de una roseta en esfuerzos, cálculo hecho paso a paso en el artículo sobre extensómetro y galga extensométrica. El bloque de acero del Ejercicio 6 está en ese estado: el espesor disminuye 0.0018 mm sin ningún esfuerzo en z.

Deformación volumétrica y módulo volumétrico

Sumando las tres ecuaciones normales, se obtiene la variación relativa de volumen. En pequeñas deformaciones, es la suma de las tres deformaciones normales: ε_V = ΔV/V ≈ ε_x + ε_y + ε_z = (1 − 2ν)/E·(σ_x + σ_y + σ_z). Dos consecuencias salen directamente de la fórmula, como muestran los apuntes de la UFJF y de la UFF: el corte no cambia el volumen, y un estado en el que la suma de los esfuerzos normales es cero tampoco lo cambia.

Bajo presión hidrostática p, con σ_x = σ_y = σ_z = −p, la misma expresión da ε_V = −3p(1 − 2ν)/E. La razón entre la presión y la pérdida relativa de volumen es el módulo volumétrico, K = −p/ε_V = E/[3(1 − 2ν)]. Con ν = 0.5, K tiende a infinito y el material es incompresible. Los valores de K y de G para el acero y el concreto, y el porqué del límite de 0.5, están en el artículo sobre el coeficiente de Poisson, en la sección sobre la relación entre E, G, K y ν.

Rigidez confinada: por qué el material restringido lateralmente parece más rígido

Un caso que las fórmulas no muestran a primera vista es el del material impedido de expandirse hacia los lados, como el suelo en el anillo del edómetro o un soporte elastomérico entre paredes rígidas. Con ε_x = ε_y = 0 y carga solo en z, las dos primeras ecuaciones dan el esfuerzo que ejercen las paredes, σ_x = σ_y = ν/(1 − ν)·σ_z, y la tercera da ε_z = σ_z/M, con:

M = E(1 − ν)/[(1 + ν)(1 − 2ν)] = λ + 2G

M es el módulo confinado, o edométrico. Es la rigidez que el ensayo de consolidación (edométrico) calcula como E_oed = 1/m_v, con la deformación lateral impedida por el anillo. La tabla muestra cuánto supera M a E según el coeficiente de Poisson, con valores de ν que el sitio usa para cada material:

ν	M/E = (1 − ν)/[(1 + ν)(1 − 2ν)]	Material de referencia
0.20	1.11	concreto (ν de la NBR 6118, norma brasileña de estructuras de concreto)
0.30	1.35	acero (ν de la NBR 8800, norma brasileña de estructuras de acero)
0.40	2.14	polímero rígido (intervalo de 0.33 a 0.40)
0.49	17.1	caucho (intervalo de 0.48 a 0.5)

Hasta ν = 0.3 la ganancia es moderada; cerca de 0.5, se dispara. Por eso un soporte de caucho confinado entre placas rígidas es muchas veces más rígido que con los lados libres, y por eso el módulo edométrico de un suelo no es el E de un ensayo de compresión sin confinamiento. En suelos, la relación con E y ν es solo aproximada: el comportamiento no es lineal, y el módulo vale únicamente para el intervalo de esfuerzos de la etapa en la que se calculó. El Ejercicio 7 aplica el cálculo a un bloque de polímero.

Ley de Hooke generalizada con variación de temperatura

Cuando cambia la temperatura, cada deformación normal suma la dilatación térmica libre: ε_x = [σ_x − ν(σ_y + σ_z)]/E + α·ΔT, y de la misma forma para y y z, con α el coeficiente de dilatación térmica lineal y ΔT la variación de temperatura. Las distorsiones no cambian, porque la dilatación libre de un material isótropo es igual en todas las direcciones. En el conteo de Nemeth (NASA, 2011), el material isótropo tiene un único coeficiente de dilatación, frente a 3 en el ortótropo y 6 en el anisótropo general. La expresión supone E, ν y α constantes en el intervalo de temperatura considerado.

Resumen de las formas de la ley de Hooke generalizada

La tabla reúne las formas de esta sección, con las constantes que requiere cada una y la fuente de cada expresión. Los cálculos con números están en los ejercicios 6 y 7.

Caso	Ecuación	Constantes	Fuente
Uniaxial	σ = E·ε; εlat = −ν·ε	E, ν	sección σ = E·ε de este artículo
3D, deformación a partir del esfuerzo	εx = [σx − ν(σy + σz)]/E; γ = τ/G	E, ν, G	UFJF; UFF
3D, esfuerzo a partir de la deformación	σij = λ·εkk·δij + 2μ·εij	λ, μ	IAG-USP
Estado plano de esfuerzos	σx = E/(1 − ν²)·(εx + ν·εy); εz = −ν(σx + σy)/E	E, ν	UFJF
Estado plano de deformación	σz = ν(σx + σy)	ν	UFJF
Volumen	εV = (1 − 2ν)/E·(σx + σy + σz); K = E/[3(1 − 2ν)]	E, ν, K	UFF; UFJF
Confinado (edométrico)	M = E(1 − ν)/[(1 + ν)(1 − 2ν)] = λ + 2G	E, ν	deducción de las ecuaciones 3D; IAG-USP
Con temperatura	+ α·ΔT en cada deformación normal	E, ν, α	Nemeth (NASA, 2011)
Número de constantes	21 anisótropo; 9 ortótropo; 5 transversalmente isótropo; 2 isótropo	según la simetría	Nemeth (NASA, 2011)

Hasta dónde es válida la ley de Hooke

La ley de Hooke es una aproximación lineal y solo es válida para deformaciones pequeñas. En los metales, el tramo recto termina con una deformación del orden de décimas de porcentaje. Dos puntos del diagrama suelen confundirse:

• Límite de proporcionalidad: el final del tramo recto. La ley de Hooke es válida hasta aquí.
• Límite elástico: el mayor esfuerzo que el material soporta sin quedar con deformación permanente. Puede estar un poco por encima del límite de proporcionalidad: entre ambos, el material todavía regresa a su tamaño original, pero la relación ya no es proporcional.

La gráfica siguiente muestra la curva de un acero con el tramo de la ley de Hooke ampliado. A la escala de la curva completa, ese tramo es tan corto que parece una línea vertical pegada al cero: termina en alrededor de 0.15% de deformación, mientras que la probeta todavía se alargará más de 15% antes de romperse.

Al descargar después de la fluencia, el metal regresa siguiendo una recta paralela al tramo elástico, lo que muestra que el comportamiento elástico sigue existiendo incluso después de la deformación plástica.

Algunos materiales no siguen la ley de Hooke de forma útil:

• El caucho y los elastómeros sufren grandes deformaciones elásticas, pero la relación no es lineal.
• Los plásticos son viscoelásticos: la respuesta depende del tiempo y de la velocidad de carga. Por eso la norma ISO 527-1 mide el módulo de los plásticos solo entre 0.05% y 0.25% de deformación.
• El concreto y el hierro fundido tienen una curva no lineal desde el inicio, y se usa el módulo inicial, secante o de cuerda.
• Los compuestos y la madera son anisótropos: el módulo depende de la dirección, y la ley debe escribirse en forma tensorial, con más constantes elásticas.

Cómo se mide la ley de Hooke en el ensayo de tracción

El ensayo de tracción (prueba de tensión) es el experimento del resorte en versión de laboratorio. La máquina universal de ensayos separa las mordazas a velocidad controlada, y tres instrumentos trabajan juntos:

• La celda de carga mide la fuerza F.
• El extensómetro, sujeto en la zona útil de la probeta, mide el alargamiento ΔL en la longitud de medición L₀.
• El software convierte a esfuerzo (σ = F/A₀) y deformación unitaria (ε = ΔL/L₀), traza la curva y ajusta la recta del tramo lineal para obtener el módulo de elasticidad.

El extensómetro es indispensable porque las deformaciones involucradas son diminutas. El 0.15% en el que termina el tramo lineal del acero corresponde, en una longitud de medición de 50 mm, a menos de 0.08 mm. El intervalo de 0.05% a 0.25% de la ISO 527-1 para plásticos corresponde a 25 a 125 micrómetros en 50 mm. El desplazamiento del travesaño de la máquina no sirve para esto: además del alargamiento de la probeta, incluye el acomodo de las mordazas y la deformación de la propia máquina, y el módulo calculado con él resulta muy por debajo del real. El Ejercicio 4 muestra el tamaño de ese error.

La tabla reúne las normas que rigen la medición del módulo y la verificación de los instrumentos:

Norma	Qué establece
ABNT NBR ISO 6892-1 / ISO 6892-1	Ensayo de tracción de metales a temperatura ambiente (la ABNT NBR ISO 6892-1 es su adopción en Brasil); la versión ISO de 2019 incluye un anexo normativo para determinar el módulo de elasticidad por regresión lineal
ASTM E111	Determinación del módulo de Young, del módulo tangente y del módulo de cuerda
ISO 527-1	Propiedades de tracción de plásticos, con el módulo medido entre 0.05% y 0.25% de deformación
ASTM E83 e ISO 9513	Verificación y clasificación de extensómetros
ABNT NBR ISO 7500-1	Verificación del sistema de medición de fuerza de las máquinas de ensayo (adopción brasileña de la ISO 7500-1)

Las máquinas universales de ensayos de Biopdi, fabricante brasileño con sede en São Carlos (SP), Brasil, trabajan con extensómetros de 25 mm y 50 mm para deformaciones pequeñas, como las de los metales, y de 150 mm y 250 mm para las grandes deformaciones de los polímeros. El software BioLab traza la curva esfuerzo-deformación y calcula el módulo de Young durante el propio ensayo. Para metales, láminas y uniones soldadas, la máquina de doble columna de 5 a 50 kN es el punto de partida; para polímeros y elastómeros, la de una columna de 2 a 10 kN. Si su laboratorio necesita medir el módulo de elasticidad, solicite una cotización.

Ejercicios resueltos de la ley de Hooke

En todos los ejercicios, use g = 9.8 m/s².

Ejercicio 1: deformación de un resorte

Un resorte de constante k = 250 N/m sostiene, en reposo, un cuerpo de 2.0 kg. ¿Cuál es la deformación del resorte?

Solución. En equilibrio, la fuerza elástica es igual al peso: F = m·g = 2.0 × 9.8 = 19.6 N. Por la ley de Hooke, x = F / k = 19.6 / 250 = 0.0784 m. Respuesta: 7.84 cm.

Ejercicio 2: constante elástica a partir de un experimento

Masas de 50, 100, 150 y 200 g colgadas de un resorte produjeron alargamientos de 2.0, 4.0, 6.0 y 8.0 cm. ¿Cuál es la constante elástica, y cuánta energía almacena el resorte con 200 g?

Solución. Las fuerzas son los pesos: 0.49, 0.98, 1.47 y 1.96 N. La razón F/x es la misma en todos los puntos, así que los puntos están sobre una recta que pasa por el origen. Con el último punto: k = 1.96 / 0.080 = 24.5 N/m. La energía es E_p = ½ × 24.5 × (0.080)² = 0.0784 J.

Ejercicio 3: asociación de resortes

Dos resortes, con k₁ = 200 N/m y k₂ = 300 N/m, reciben una fuerza de 60 N. ¿Cuál es la deformación del conjunto en serie y en paralelo?

Solución. En serie: k_eq = (200 × 300) / (200 + 300) = 120 N/m, y x = 60 / 120 = 0.50 m. En paralelo: k_eq = 200 + 300 = 500 N/m, y x = 60 / 500 = 0.12 m. El conjunto en paralelo es cuatro veces más rígido que el conjunto en serie.

Ejercicio 4: módulo de elasticidad en un ensayo de tracción

Una probeta cilíndrica de acero de 10 mm de diámetro se ensaya a tracción con un extensómetro de 50 mm de longitud de medición. En el tramo lineal, la fuerza pasa de 4.0 kN a 12.0 kN, y el extensómetro registra alargamientos de 0.0127 mm y 0.0382 mm. ¿Cuál es el módulo de elasticidad?

Solución. Área: A₀ = π × 5² = 78.54 mm². Variación de esfuerzo: Δσ = 8,000 N / 78.54 mm² = 101.9 MPa. Variación de deformación: Δε = (0.0382 − 0.0127) / 50 = 0.000510. Módulo: E = Δσ / Δε = 101.9 / 0.000510 ≈ 199,700 MPa. Respuesta: E ≈ 200 GPa, el valor esperado para un acero. El esfuerzo máximo del intervalo, 12,000 / 78.54 = 153 MPa, está por debajo de la fluencia de un acero 1020 recocido (alrededor de 180 MPa), lo que confirma que el cálculo se hizo en el régimen de la ley de Hooke.

Si el mismo cálculo usara el desplazamiento del travesaño de la máquina en lugar del extensómetro, por ejemplo 0.10 mm en ese intervalo, la deformación aparente sería 0.10 / 50 = 0.002 y el módulo resultaría de alrededor de 51 GPa, cuatro veces menor que el real. Es el error descrito en la sección sobre el ensayo de tracción, y la razón por la que el módulo se mide con extensómetro.

Ejercicio 5: alargamiento de una barra de aluminio

Una barra de aluminio (E = 69 GPa) de 2.0 m de longitud y 100 mm² de sección recibe una fuerza de tracción de 3.0 kN. ¿Cuánto se alarga?

Solución. Esfuerzo: σ = 3,000 / 100 = 30 MPa, por debajo de la fluencia del aluminio recocido (alrededor de 35 MPa), así que la ley de Hooke es válida. Constante de la barra: k = E·A / L = 69,000 N/mm² × 100 mm² / 2,000 mm = 3,450 N/mm. Alargamiento: δ = F / k = 3,000 / 3,450 = 0.87 mm. La barra se comporta como un resorte muy rígido.

Ejercicio 6: ley de Hooke generalizada en un bloque de acero bajo esfuerzo biaxial

Un bloque de acero de 100 × 50 × 20 mm recibe σ_x = +120 MPa (tracción) en la dirección de los 100 mm y σ_y = −60 MPa (compresión) en la dirección de los 50 mm, con σ_z = 0 en el espesor de 20 mm. Con E = 200 GPa y ν = 0.3, los valores de la NBR 8800 (la norma brasileña de diseño de estructuras de acero), calcule la variación de las tres dimensiones y del volumen.

1. Régimen: 120 MPa y 60 MPa están por debajo de la fluencia mínima del acero A36, 250 MPa, así que la ley de Hooke es válida.
2. ε_x = [120 − 0.3 × (−60 + 0)]/200,000 = 138/200,000 = 6.90 × 10⁻⁴, y Δa = 6.90 × 10⁻⁴ × 100 = +0.069 mm.
3. ε_y = [−60 − 0.3 × (120 + 0)]/200,000 = −96/200,000 = −4.80 × 10⁻⁴, y Δb = −4.80 × 10⁻⁴ × 50 = −0.024 mm.
4. ε_z = [0 − 0.3 × (120 − 60)]/200,000 = −18/200,000 = −9.0 × 10⁻⁵, y Δt = −9.0 × 10⁻⁵ × 20 = −0.0018 mm. El espesor cambia sin esfuerzo en z: es el estado plano de esfuerzos.
5. Volumen: ε_V = (6.90 − 4.80 − 0.90) × 10⁻⁴ = 1.20 × 10⁻⁴. Con la fórmula directa, (1 − 0.6)/200,000 × (120 − 60 + 0) = 0.4 × 60/200,000 = 1.20 × 10⁻⁴, el mismo valor. Con V = 100,000 mm³, ΔV = +12 mm³.

Con σ = E·ε aplicada solo en x, la deformación resultaría 120/200,000 = 6.0 × 10⁻⁴, 13% por debajo del valor real de 6.9 × 10⁻⁴. La diferencia es la compresión en y, que alarga el bloque en x por el efecto de Poisson.

Ejercicio 7: polímero confinado en una matriz rígida

Un bloque de polímero rígido de 50 mm de altura, E = 2.0 GPa y ν = 0.40 se comprime con σ_z = −10 MPa dentro de una matriz rígida que impide la deformación lateral (ε_x = ε_y = 0). Los valores están dentro de los intervalos del propio sitio: polipropileno de 1.1 a 2 GPa en este artículo y polímeros rígidos de 0.33 a 0.40 en el artículo sobre el coeficiente de Poisson. Calcule el esfuerzo lateral y el acortamiento, y compárelos con los del bloque libre.

1. De ε_x = 0: σ_x − ν(σ_y + σ_z) = 0. Por simetría, σ_x = σ_y, y entonces σ_x = ν/(1 − ν)·σ_z = 0.4/0.6 × (−10) = −6.67 MPa: la matriz aprieta el bloque lateralmente.
2. ε_z = [σ_z − ν(σ_x + σ_y)]/E = [−10 − 0.4 × (−13.33)]/2,000 = −4.667/2,000 = −2.33 × 10⁻³, y Δh = −2.33 × 10⁻³ × 50 = −0.117 mm.
3. Bloque libre: ε_z = −10/2,000 = −5.0 × 10⁻³, y Δh = −0.25 mm.
4. Módulo confinado: M = 2,000 × 0.6/(1.4 × 0.2) = 1,200/0.28 = 4,286 MPa, o 2.14·E. Comprobación: 5.0/2.333 = 2.14.

El mismo material parece dos veces más rígido cuando está confinado, como predice la tabla de M/E. En un polímero real, el resultado vale como estimación para carga rápida, porque la respuesta de los plásticos depende del tiempo, como se explicó en la sección sobre los límites de la ley.

Referencias

• HOOKE, R. Lectures de Potentia Restitutiva, or of Spring Explaining the Power of Springing Bodies. Londres: John Martyn, 1678.
• HOOKE, R. A Description of Helioscopes, and Some Other Instruments. Londres, 1676.
• YOUNG, T. A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts. Londres, 1807.
• CALLISTER, W. D.; RETHWISCH, D. G. Materials Science and Engineering: An Introduction. Wiley. Tablas 6.1 y 6.2.
• ISO 6892-1:2019. Metallic materials: Tensile testing, Part 1: Method of test at room temperature.
• ISO 527-1:2019. Plastics: Determination of tensile properties, Part 1: General principles.
• ASTM E111. Standard Test Method for Young's Modulus, Tangent Modulus, and Chord Modulus.
• ASTM E83-25. Standard Practice for Verification and Classification of Extensometer Systems.
• LORD, J. D.; MORRELL, R. M. Elastic modulus measurement: obtaining reliable data from the tensile test. Metrologia, v. 47, n. 2, S41, 2010. DOI: 10.1088/0026-1394/47/2/S05.
• ABNT NBR 6118 (norma brasileña). Projeto de estruturas de concreto.
• CURY, A. Lei de Hooke generalizada. Resistência dos Materiais 2 (MAC003), diapositivas de clase. Juiz de Fora: UFJF, 2026.
• BUFFONI, S. Resistência dos Materiais, aula 7: lei de Hooke generalizada. Niterói: UFF.
• IAG-USP. AGG0305: 3. Constantes elásticas e Lei de Hooke. São Paulo: Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas da USP, 2014.
• NEMETH, M. P. An In-Depth Tutorial on Constitutive Equations for Elastic Anisotropic Materials. NASA/TM-2011-217314. Hampton: NASA Langley Research Center, 2011.