Límite de proporcionalidad: qué es, diferencia con el límite elástico y la fluencia, y cómo medirlo

En resistencia de materiales, el límite de proporcionalidad es el mayor esfuerzo que un material soporta mientras el esfuerzo y la deformación siguen siendo directamente proporcionales, es decir, el final del tramo recto de la curva esfuerzo-deformación. Hasta ese punto se cumple la ley de Hooke: el esfuerzo es igual al módulo de elasticidad multiplicado por la deformación. Rebasarlo no significa, por sí solo, que el material quedó deformado para siempre. En los metales, el orden es límite de proporcionalidad ≤ límite elástico ≤ límite de fluencia convencional, y los dos primeros casi coinciden. El valor se lee al inicio del diagrama esfuerzo-deformación obtenido en el ensayo de tracción (prueba de tensión).

Qué es el límite de proporcionalidad

La definición usa dos magnitudes del ensayo de tracción. El esfuerzo de ingeniería es σ = F / S₀, la fuerza dividida entre el área inicial de la sección; con la fuerza en newtons y el área en mm², resulta en N/mm², que es lo mismo que MPa. La deformación de ingeniería es ε = ΔL / L₀, el alargamiento dividido entre la longitud de referencia inicial. En el ensayo, L₀ es la longitud calibrada del extensómetro, el instrumento sujeto a la probeta que mide el alargamiento. La deformación es adimensional (mm/mm) y se suele expresar en %.

En la foto, un extensómetro de sujeción (clip-on) colocado en una probeta plana: las dos cuchillas marcan la longitud de referencia, y solo con esa medición se localiza el final del tramo recto de la curva.

Con σ en el eje vertical y ε en el horizontal, los primeros puntos de un metal caen sobre una recta que parte del origen. El límite de proporcionalidad es donde esa recta termina. La ASTM E6, la norma de terminología de ensayos mecánicos, define el término como "el mayor esfuerzo que un material es capaz de soportar sin ninguna desviación de la proporcionalidad entre esfuerzo y deformación (ley de Hooke)". La ASTM E111, del módulo de elasticidad, y la ASTM D638, de plásticos, usan la misma definición.

En los libros el símbolo aparece como σ_LP, σ_p o σ_pl. La ISO 6892-1, norma internacional de tracción de metales, no tiene símbolo para él, porque no lo determina; los motivos se explican más adelante.

Un error muy difundido es tratar ese punto como el inicio de la deformación permanente. El final del tramo recto es el final de la linealidad, no el final de la elasticidad; la deformación permanente es el criterio de otro límite, el elástico, que se trata más adelante.

Ley de Hooke y módulo de elasticidad: hasta dónde son válidos

Robert Hooke publicó la idea en 1676, cifrada en el anagrama "ceiiinosssttuu", y la explicó en 1678, en Lectures de Potentia Restitutiva, or Of Spring: "Ut tensio, sic vis", la fuerza de un resorte está en la misma proporción que su estiramiento. Aplicada al material, la ley de Hooke queda σ = E·ε, y la constante E es el módulo de elasticidad, o módulo de Young.

El límite de proporcionalidad es, por definición, el tope de validez de esa ecuación. La ASTM E6 define el módulo como la razón entre esfuerzo y deformación por debajo del límite de proporcionalidad, y la ASTM E111 indica calcularlo con puntos de ese tramo: E = Δσ / Δε = (σ₂ − σ₁) / (ε₂ − ε₁). Por encima del límite, σ deja de ser igual a E·ε, y un cálculo de deflexión o de alargamiento hecho con E subestima la deformación real. La tabla presenta el E de aleaciones comunes a temperatura ambiente, la pendiente del tramo recto de cada una:

Aleación	E (GPa)	Coeficiente de Poisson ν
Acero	207	0.30
Níquel	207	0.31
Cobre	110	0.34
Titanio	107	0.34
Latón	97	0.34
Aluminio	69	0.33
Magnesio	45	0.29

Los valores son de Callister y Rethwisch, Tabla 6.1. El coeficiente de Poisson, la razón entre la deformación lateral y la axial, también solo existe por debajo del límite de proporcionalidad: por encima de él, dice la ASTM E6, esa razón pasa a depender del esfuerzo y no debe tratarse como coeficiente de Poisson. Para el acero, consulte el módulo de elasticidad del acero.

El tramo recto también almacena energía. El área del triángulo bajo él es el módulo de resiliencia, U_r = σ_LP² / (2E), la energía por unidad de volumen que el material absorbe y devuelve al descargarse. Muchos libros, como el Hibbeler, usan la fluencia en lugar de σ_LP como aproximación, y el ejercicio 3 muestra la diferencia.

Límite de proporcionalidad y límite elástico: cuál es la diferencia

El límite elástico responde a una pregunta distinta. Según la ASTM E6, es "el mayor esfuerzo que un material es capaz de soportar sin que quede ninguna deformación permanente después de retirar por completo la carga". El límite de proporcionalidad observa la forma de la curva durante la carga; el límite elástico observa lo que queda después de la descarga. Un material puede seguir siendo elástico después de dejar de ser lineal, por lo que el límite de proporcionalidad queda igual o por debajo del elástico.

Medir el límite elástico es laborioso: exige cargar y descargar la probeta con cargas crecientes y verificar, en cada ciclo, si quedó deformación. El resultado depende de la sensibilidad de la medición. Con instrumentos capaces de detectar microdeformaciones del orden de 2×10⁻⁶, se obtiene el llamado límite elástico verdadero, asociado al movimiento de unos cuantos cientos de dislocaciones, los defectos de la red cristalina cuyo deslizamiento produce la deformación plástica. Con la sensibilidad usual de ingeniería, cercana a 10⁻⁴, el límite elástico resulta por encima del de proporcionalidad (ASM, vía Total Materia). Cuanto más sensible el instrumento, más bajo el valor.

En los metales los dos límites casi coinciden, porque la pérdida de linealidad suele deberse al inicio del flujo plástico (Roylance, MIT). Por eso muchos cursos adoptan el mismo valor para ambos, y Dieter señala que el de proporcionalidad suele sustituir al elástico, por ser más fácil de obtener. En los elastómeros ocurre lo contrario: el caucho es elástico y no lineal desde el inicio, el límite de proporcionalidad es bajo o ni siquiera se define, y el límite elástico queda muy por encima de él.

¿El límite de proporcionalidad es el límite de fluencia?

No. El límite de fluencia de ingeniería es una magnitud convencional: la ISO 6892-1:2019 define R_p como el esfuerzo en que la extensión plástica alcanza un porcentaje especificado de la longitud calibrada del extensómetro, en general 0.2 %, el R_p0.2. Se obtiene trazando una recta paralela al tramo recto, desplazada 0.2 % en el eje de la deformación; el punto donde corta la curva es el R_p0.2. Los aceros de bajo carbono muestran, en cambio, una meseta de fluencia, con un límite superior (R_eH) y uno inferior (R_eL). El método completo, con ejemplos, está en el artículo sobre el límite elástico y límite de fluencia.

La confusión surge porque el acero con meseta muestra valores cercanos y porque algunos resúmenes, incluso de buscadores, describen la fluencia como "el punto justo después del límite de proporcionalidad, donde empieza la deformación permanente". La deformación permanente empieza justo por encima del límite elástico, antes del R_p0.2, que por definición ya incluye 0.2 % de deformación plástica. Y el desplazamiento (offset) de 0.2 % es el de los metales; en plásticos lo usual es 2 %.

Los símbolos de la fluencia también varían. La ISO 6892-1 usa R_eH, R_eL y R_p0.2; los libros usan σ_y o σ_e; la ABNT NBR 7480:2024 (la norma brasileña de varilla corrugada para concreto) usa f_y y el valor característico f_yk.

La gráfica siguiente amplía el inicio de la curva de una aleación sin meseta, calculada para pasar por los puntos del ejercicio 1, y marca los tres límites en orden. El punto A es el final del tramo recto, en unos 240 MPa. El punto B es el límite elástico con sensibilidad de 0.01 %: al descargarse por una recta paralela a la de Hooke, deja esa deformación permanente, y queda en unos 280 MPa. El punto C es el R_p0.2, donde la recta de offset corta la curva, en unos 303 MPa. La gráfica muestra también que la recta de descarga de B y la recta de offset de C son paralelas a la recta de Hooke: ambas miden deformación permanente, una de 0.01 % y la otra de 0.2 %.

Los cuatro límites del inicio de la curva

Sumando el límite elástico verdadero, son cuatro valores al comienzo de la curva, del más bajo al más alto. La tabla resume qué mide cada uno y dónde se usa, según la ASM y Dieter:

Límite	Qué define	Cómo se mide	Dónde se usa
Elástico verdadero	primera deformación permanente	microdeformación del orden de 2×10⁻⁶	investigación
Proporcionalidad	fin de la relación σ = E·ε	desviación de la recta, con criterio declarado	enseñanza, cálculo del módulo, régimen lineal
Elástico	mayor σ sin deformación permanente medible	ciclos de carga y descarga	caracterización especial
Fluencia convencional	σ con 0.2 % de deformación plástica (Rp0.2) o meseta (ReH, ReL)	recta de offset o lectura de la meseta	normas, especificación y diseño

Cómo determinar el límite de proporcionalidad en el ensayo

El valor se obtiene del ensayo de tracción en una máquina universal. La celda de carga mide la fuerza F, el extensómetro mide el alargamiento ΔL en su longitud calibrada, y el software convierte el par en σ y ε, traza la curva y ajusta la recta del inicio. La dificultad es que la curva se separa de la recta poco a poco, y el punto donde se declara la separación depende del instrumento y del criterio.

Por qué el valor depende del equipo

La ASTM E6 incluye una nota al respecto: los valores observados del límite de proporcionalidad varían mucho con la sensibilidad y la precisión del equipo, con la excentricidad de la carga y con la escala de la gráfica. Por eso, cuando se requiera el valor, deben especificarse el procedimiento y la sensibilidad del equipo. En metales sin meseta, como el aluminio, el cobre y los aceros inoxidables, la salida de la recta es gradual, y el "punto" depende por completo del criterio.

El comienzo de la curva también tiene su propio ruido. En los primeros instantes la probeta se acomoda en las mordazas y las holguras se cierran; la ISO 6892-1 permite una precarga de hasta 5 % de la fluencia esperada para alinear el conjunto. En los polímeros hay una región inicial curva, la región de acomodo. La ASTM E111 indica iniciar el ajuste por encima de una precarga, para que ese tramo no entre en la recta.

Ajuste de la recta y criterio de desviación

Hay cuatro formas documentadas de encontrar la recta y su final:

1. Gráfica (ASTM E111, 9.2): se traza la recta en el tramo lineal y se eligen dos puntos lo más separados posible, ambos por debajo del límite.
2. Regresión por mínimos cuadrados (ASTM E111, 9.3): se ajusta la recta a los pares (σ, ε) del tramo y se evalúa la variabilidad de la pendiente, mediante el coeficiente de variación o el intervalo de confianza.
3. Criterio de desviación: el límite es el primer punto en que la curva se aleja de la recta más de un valor definido antes del ensayo. Un ejemplo publicado es la caída de 2 % en la pendiente respecto al régimen elástico (Brannigan, 2015, en aleaciones biocompatibles). Ninguna norma fija un criterio único; lo que exige la ASTM E6 es declarar el que se usó.
4. Algoritmo objetivo (ASTM E3076-25): el método SDAR busca la región más lineal del registro por el menor residuo normalizado y aplica métricas de ruido, resolución y calidad del ajuste. El objetivo declarado es quitarle al operador la elección del tramo lineal.

El límite elástico, en cambio, no se obtiene con estas construcciones: exige los ciclos de carga y descarga descritos en la sección anterior.

Extensómetro, no travesaño

El desplazamiento del travesaño de la máquina suma al alargamiento de la probeta la holgura de las mordazas y la deformación de la propia máquina. El resultado es una recta más inclinada hacia la horizontal, con un módulo aparente muy por debajo del real, y un final del tramo recto en otro lugar; el ejercicio 5 mide el tamaño del error. La ISO 6892-1:2019 hace obligatorio el extensómetro para determinar R_p y exige clase 1 de la ISO 9513 para R_p, con sistema de fuerza clase 1 de la ISO 7500-1. La longitud calibrada del extensómetro debe cubrir lo más posible de la longitud paralela, y la alineación de la probeta influye en la medición de la fluencia. Para el límite de proporcionalidad, más abajo en la curva, estas exigencias aplican con mayor razón.

Por qué las normas especifican la fluencia y no el límite de proporcionalidad

La ISO 6892-1:2019, base de la ABNT NBR ISO 6892-1:2024 (su adopción en Brasil), determina el límite superior y el inferior de fluencia, los esfuerzos convencionales como el R_p0.2 y la resistencia a la tracción, y no tiene cláusula para el límite de proporcionalidad. El alcance de la ASTM E8/E8M-25 tampoco lo incluye: cubre fluencia, resistencia a la tracción, alargamiento y reducción de área. La razón está en la nota de la ASTM E6: un valor que cambia con el equipo no sirve para aceptar un lote ni para comparar proveedores. El offset, según la ASM, existe para evitar las dificultades prácticas de medir el límite elástico o el de proporcionalidad.

La varilla corrugada CA-50 (grado brasileño) ilustra la elección: la ABNT NBR 7480:2024 la especifica por f_yk ≥ 500 MPa, que es una fluencia. El límite de proporcionalidad sigue siendo importante en el diseño, como frontera de validez de los cálculos hechos con E: resortes, celdas de carga y galgas extensiométricas (extensómetros de resistencia eléctrica) trabajan muy por debajo de él, precisamente para responder de forma lineal.

Materiales sin tramo recto

No todos los materiales tienen un tramo recto nítido. Para ellos, la ASTM E6 recomienda trabajar con otros módulos, siempre declarando los puntos usados: el tangente, pendiente de la curva en un punto; el secante, pendiente de la recta que une el origen con un punto de la curva; y el de cuerda, pendiente de la recta entre dos puntos de la curva. Por material:

• Hierro fundido gris y cobre recocido: prácticamente no tienen porción lineal. El offset no aplica, y la fluencia se define por el esfuerzo con una deformación total especificada, por ejemplo 0.5 % (ASM).
• Plásticos: la ISO 527-1:2019 define el módulo de tracción E_t como la pendiente entre ε = 0.05 % y ε = 0.25 %, por cuerda o por regresión, sin depender de un límite de proporcionalidad.
• Concreto: la ABNT NBR 8522-1:2021 (la norma brasileña de módulo de elasticidad del concreto) determina el módulo tangente inicial E_ci como un módulo de cuerda entre 0.5 MPa y 30 % de la resistencia a la compresión, después de ciclos de precarga. El artículo sobre el módulo de elasticidad del concreto trata el ensayo.
• Elastómeros: son elásticos y no lineales; el límite de proporcionalidad es bajo o no se define, y el elástico queda muy por encima.
• Cerámicas y vidrio: la curva es prácticamente lineal hasta la fractura (Roylance), sin un límite de proporcionalidad separado de la rotura.

Ejercicios resueltos

Los cinco ejercicios usan datos ilustrativos, construidos para el artículo y revisados a mano; no son una medición real. Los tres primeros siguen la misma probeta de acero, del límite al módulo y a la energía; el cuarto aplica la ley de Hooke a una barra de aluminio, y el último muestra el error de medir con el travesaño.

Ejercicio 1: encontrar el límite de proporcionalidad en una tabla de ensayo

Probeta de acero con d₀ = 10.0 mm, por lo tanto S₀ = π × 10.0² / 4 = 78.54 mm². El alargamiento se midió con un extensómetro clip-on de base L₀ = 50 mm. Criterio declarado antes del ensayo: el límite de proporcionalidad es el último punto cuyo esfuerzo queda a menos de 1 % de la recta σ = E·ε, con E = 200 GPa (la pendiente de los primeros puntos, calculada en el ejercicio 2). La tabla presenta los ocho puntos registrados, el esfuerzo medido y el esfuerzo que la recta predice para la misma deformación:

F (kN)	ΔL (mm)	σ = F / S0 (MPa)	Recta E·ε (MPa) y desviación
3.14	0.010	40.0	40 (0 %)
6.28	0.020	80.0	80 (0 %)
9.42	0.030	119.9	120 (0 %)
12.57	0.040	160.0	160 (0 %)
15.71	0.050	200.0	200 (0 %)
18.85	0.060	240.0	240 (0 %)
21.50	0.070	273.7	280 (−2.2 %)
22.30	0.080	283.9	320 (−11.3 %)

1. En cada fila, ε = ΔL / 50 y σ = F / 78.54; la recta da 200,000·ε. En la sexta fila, ε = 0.060 / 50 = 0.0012 y σ = 18,850 / 78.54 = 240.0 MPa, igual a los 240 MPa de la recta.
2. En la séptima fila, la recta predice 280 MPa y el ensayo dio 273.7 MPa: desviación de (273.7 − 280) / 280 = −2.2 %, fuera del criterio.
3. El último punto dentro de 1 % es el de F = 18.85 kN. Por lo tanto, σ_LP ≈ 240 MPa.

El valor real está entre 240 y 274 MPa, y para estrechar ese intervalo se necesita una adquisición más densa. Con un criterio de 3 %, el punto de 273.7 MPa también sería aceptado y el límite subiría a 274 MPa: es exactamente el efecto que describe la nota de la ASTM E6. La gráfica siguiente muestra los ocho puntos sobre la recta de Hooke y la franja de 1 %: los seis primeros quedan dentro de ella, y los dos últimos, marcados en rojo, quedan por debajo.

Ejercicio 2: módulo de elasticidad en el tramo recto

Por el método gráfico de la ASTM E111, se usan los dos puntos más alejados del tramo lineal del ejercicio 1: (3.14 kN; 0.010 mm) y (18.85 kN; 0.060 mm).

1. Δσ = (18,850 − 3,140) N / 78.54 mm² = 200.0 MPa.
2. Δε = (0.060 − 0.010) / 50 = 0.0010.
3. E = 200.0 / 0.0010 = 200,000 MPa = 200 GPa, coherente con los 207 GPa del acero en la Tabla 6.1 de Callister.

Ejercicio 3: módulo de resiliencia

Con σ_LP = 240 MPa y E = 200,000 MPa: U_r = 240² / (2 × 200,000) = 57,600 / 400,000 = 0.144 MJ/m³ (0.144 MPa). Si el cálculo usara el R_p0.2, mayor que σ_LP, el resultado subiría; por eso los libros llaman a esta sustitución una aproximación.

Ejercicio 4: la ley de Hooke solo por debajo del límite

Barra de aluminio con E = 69 GPa, longitud L = 200 mm, bajo σ = 100 MPa. Se supone que el límite de proporcionalidad de la aleación es mayor que 100 MPa, lo que debe comprobarse en un ensayo.

1. ε = 100 / 69,000 = 1.449×10⁻³.
2. δ = ε·L = 1.449×10⁻³ × 200 = 0.29 mm.

Si el esfuerzo superara el límite de proporcionalidad, el mismo cálculo subestimaría el alargamiento, porque la curva real queda por debajo de la recta.

Ejercicio 5: por qué no medir con el travesaño

En el mismo ensayo del ejercicio 1, con 15.71 kN (σ = 200 MPa) el extensómetro indica 0.050 mm en 50 mm, ε = 0.0010. Suponga que, en el mismo instante, el travesaño indica 0.35 mm para una longitud libre de 50 mm; el valor es hipotético e incluye la holgura de las mordazas y la deformación de la máquina.

1. Deformación medida con el travesaño: 0.35 / 50 = 0.007.
2. Módulo aparente: 200 / 0.007 = 28.6 GPa, cerca de 7 veces menor que los 200 GPa reales.

Con la recta equivocada, el punto en que la curva se separa de ella también cambia: los tres límites del inicio de la curva solo salen correctos con extensómetro.

Normas citadas

La tabla reúne las normas citadas en el artículo, con la edición vigente. Las ASTM e ISO tienen enlace a la página oficial; las ABNT son adopciones brasileñas de normas internacionales o normas propias de Brasil.

Norma	Qué trata	Edición
ASTM E6	terminología de ensayos mecánicos (límite de proporcionalidad, límite elástico, módulo)	E6-25
ASTM E111	módulo de Young, módulo tangente y módulo secante (de cuerda)	E111-17(2025)e1
ASTM E3076	pendiente de la región lineal de un registro de ensayo (SDAR)	E3076-25
ASTM E8/E8M	tracción de metales	E8/E8M-25
ASTM D638	tracción de plásticos	D638-22
ISO 6892-1	tracción de metales a temperatura ambiente	2019
ABNT NBR ISO 6892-1	tracción de metales a temperatura ambiente (adopción brasileña de la ISO 6892-1)	2024
ISO 9513	calibración y clase de extensómetros	2012
ABNT NBR ISO 9513	calibración y clase de extensómetros (adopción brasileña de la ISO 9513)	2013
ABNT NBR ISO 7500-1	verificación del sistema de fuerza de la máquina (adopción brasileña de la ISO 7500-1)	2023
ISO 527-1	tracción de plásticos, principios generales	2019
ABNT NBR 8522-1	módulos estáticos del concreto a compresión (norma brasileña)	2021
ABNT NBR 7480	acero para refuerzo de concreto armado (norma brasileña de varilla corrugada)	2024

Máquina para medir el límite de proporcionalidad

Medir el límite de proporcionalidad es medir el inicio de la curva con precisión, y en ese tramo el extensómetro es indispensable: sin él, el tramo recto sale con la pendiente equivocada y termina en el lugar equivocado. La máquina universal de ensayos Biopdi de la línea M2 tiene 15 capacidades, de 200 N a 1,000 kN, celda de carga clase 1 conforme a la ISO 7500-1 (ABNT NBR ISO 7500-1:2023 en Brasil), extensómetros clip-on de 25, 50, 80 y 100 mm para pequeñas deformaciones y el software BioLab. El panel siguiente muestra la máquina, la función de cada parte en la lectura del tramo recto y las mordazas utilizadas.

Para metales, láminas y compuestos como el acero de los ejercicios, el modelo indicado es la máquina universal de 50 kN; para varilla corrugada, la máquina de 100 a 200 kN. En el software BioLab, las fórmulas de cálculo personalizadas permiten crear magnitudes propias a partir de la fuerza, la posición y el extensómetro, como la desviación respecto a la recta del ejercicio 1. Las demás capacidades están en la página de la máquina universal de ensayos.