Módulo de elasticidad del concreto: fórmula de la NBR 6118, tabla por clase y ensayo NBR 8522-1

El módulo de elasticidad del concreto mide la rigidez del material, es decir, cuánto se acorta bajo un esfuerzo de compresión. Según la ABNT NBR 6118:2023 (la norma brasileña de proyecto de estructuras de concreto), para concretos de C20 a C50 el módulo tangente inicial es E_ci = α_E · 5600 · √f_ck, en MPa, y el módulo secante que se usa en el proyecto es E_cs = α_i · E_ci. Un concreto C30 con grava de granito tiene un E_ci de unos 31 GPa y un E_cs de unos 27 GPa.

Estos son los valores de las dos clases más consultadas, con granito: el C25 tiene E_ci = 28.0 GPa y E_cs = 24.2 GPa, y el C30 tiene E_ci = 30.7 GPa y E_cs = 26.8 GPa. La revisión de 2023 de la NBR 6118 conservó las fórmulas y los coeficientes de la edición de 2014. El concepto general de módulo, válido para cualquier material, se explica en el artículo sobre el módulo de elasticidad (módulo de Young). Aquí tratamos lo que es propio del concreto. El módulo se mide en un ensayo de compresión con extensómetros montados en la probeta. El artículo sigue el orden de una clase: qué es, por qué existen dos módulos, las fórmulas, las tablas, qué hace variar el valor, el ensayo, ejercicios y el equipo.

Qué es el módulo de elasticidad del concreto

En cualquier material, el módulo de elasticidad es la razón entre el esfuerzo aplicado y la deformación unitaria que este provoca, E = σ / ε, según la ley de Hooke. En el diagrama esfuerzo-deformación corresponde a la pendiente del tramo inicial: cuanto más empinada, más rígido es el material y menos se acorta bajo la misma carga. Una viga de concreto con un módulo alto tiene menor flecha, y una columna con un módulo alto se acorta menos.

En la foto se ve un cilindro de concreto entre las placas de compresión. Es el arreglo básico del ensayo de módulo según la NBR 8522-1 (la norma brasileña del ensayo de módulo de elasticidad del concreto), que añade los medidores de deformación sobre la propia probeta.

La diferencia entre el concreto y el acero está en la forma de la curva. En el acero, el tramo inicial es una recta hasta cerca de la fluencia. En el concreto, la curva empieza a doblarse desde el principio. La razón está en la estructura del material: el concreto es un material compuesto de tres fases, la pasta de cemento endurecida, el agregado grueso y la zona de transición entre ambos. La zona de transición es más porosa y ya tiene microfisuras antes de recibir cualquier carga, causadas por la contracción y el sangrado. Bajo compresión, esas microfisuras crecen y la deformación empieza a aumentar más rápido que el esfuerzo.

Hasta cerca del 30 % al 40 % de la resistencia a la compresión (f_c), la curva es casi recta y el comportamiento es prácticamente reversible: al descargarla, la probeta recupera su longitud inicial, lo que caracteriza la deformación elástica. Por encima de ese intervalo, la microfisuración se propaga, la curva se inclina cada vez más y parte de la deformación se vuelve permanente. El pico, que es el propio f_c, queda cerca de 2 ‰ de acortamiento en los concretos usuales, y la NBR 6118 adopta 3.5 ‰ como deformación última para las clases de C20 a C50.

Como la curva no tiene un tramo perfectamente recto, "la pendiente" depende de dónde se mida. Por eso el concreto tiene más de un módulo, cada uno definido por dos puntos de la curva, y la norma tiene que indicar cuál se usa en cada situación.

Eci y Ecs: módulo tangente inicial y módulo secante

La NBR 6118 y la NBR 8522-1 trabajan con dos módulos. El módulo tangente inicial, E_ci, es la pendiente de la tangente a la curva en el origen y representa la rigidez del concreto bajo esfuerzos bajos. El módulo secante, E_cs, es la pendiente de una recta que une el origen, o un punto de esfuerzo bajo, con un punto de esfuerzo más alto de la curva. Como la curva se inclina a medida que sube el esfuerzo, la secante queda por debajo de la tangente, y E_cs siempre es menor o igual que E_ci.

En la práctica de laboratorio, la tangente exacta en el origen no se mide. La NBR 8522-1:2021 obtiene el E_ci como la pendiente de la recta entre dos puntos cercanos al inicio, 0.5 MPa y 30 % de f_c, una recta que une dos puntos de la curva y que se llama cuerda. Como la tangente exacta en el origen no se puede medir con precisión, la norma adopta esa cuerda como E_ci. Su valor queda un poco por debajo de la tangente teórica, y la diferencia es menor cuanto más lineal sea el concreto. La norma estadounidense ASTM C469/C469M usa otra cuerda, hasta el 40 % de la carga de ruptura. La gráfica siguiente traza las tres rectas sobre la curva de un concreto con f_c = 30 MPa y muestra que, cuanto más alto está el segundo punto, menor es el módulo: 31.4 GPa en la tangente, 28.0 GPa en la cuerda de la NBR 8522-1 y 27.0 GPa en la secante hasta 0.4 f_c.

Módulo de elasticidad o módulo de deformación

El título de la NBR 8522-1 habla de "módulos de elasticidad y de deformación", y los dos nombres tienen significados distintos. El módulo de elasticidad es el E_ci, el tangente inicial. El módulo de deformación secante es el E_cs, calculado hasta un esfuerzo especificado. En informes y proyectos, "módulo de deformación" casi siempre se refiere al secante.

Qué módulo usar en el proyecto de concreto reforzado

La NBR 6118 (inciso 8.2.8) indica el E_cs para los análisis elásticos de proyecto, es decir, el cálculo de los elementos mecánicos y la revisión de los estados límite de servicio, como las flechas. Se toma como módulo único, a tensión y a compresión, para evaluar un elemento o una sección. El E_ci interviene en los análisis que dependen de la rigidez bajo esfuerzos bajos y prolongados, como el comportamiento global de la estructura, la fluencia lenta (creep) y las pérdidas de presfuerzo. Usar E_ci en lugar de E_cs en un cálculo de flecha subestima la deformación, porque el módulo empleado es mayor que el recomendado.

El mismo inciso de la norma completa la descripción elástica del concreto con dos valores: coeficiente de Poisson ν = 0.2 y módulo de elasticidad transversal G_c = E_cs / 2.4, válidos para esfuerzos de compresión menores que 0.5 f_c y de tensión menores que la resistencia a la tracción. El coeficiente de Poisson tiene su propio artículo.

Fórmula del módulo de elasticidad del concreto según la NBR 6118:2023

La NBR 6118 (la norma brasileña de proyecto de estructuras de concreto) pide obtener el E_ci mediante el ensayo de la NBR 8522-1, a los 28 días. Cuando no hay ensayo, algo común en la etapa de proyecto, la norma permite estimarlo a partir de la resistencia característica a la compresión, f_ck, que es la resistencia con 95 % de probabilidad de ser superada y que define la clase del concreto (el C30 tiene f_ck = 30 MPa). La estimación usa dos expresiones, una para cada grupo de resistencia, y dos coeficientes.

Las dos expresiones del Eci

En los concretos del grupo I, de C20 a C50, el módulo crece con la raíz cuadrada de la resistencia:

• C20 a C50: E_ci = α_E · 5600 · √f_ck, con E_ci y f_ck en MPa.
• C55 a C90: E_ci = 21.5 · 10³ · α_E · (f_ck/10 + 1.25)^1/3, también en MPa.

En el grupo II, de C55 a C90, la norma cambia la raíz cuadrada por una raíz cúbica. En los concretos de alta resistencia, la pasta es más densa y la zona de transición es menos porosa, y el módulo empieza a crecer más despacio que la resistencia. Cada expresión vale solo en su intervalo: aplicar la raíz cuadrada a un C70 sobrestima el módulo.

El coeficiente del agregado, αE

El agregado grueso ocupa la mayor parte del volumen del concreto y es mucho más rígido que la pasta, así que el tipo de roca pesa en el módulo tanto como la resistencia. La norma lo toma en cuenta con el coeficiente α_E, que multiplica el E_ci:

• Basalto y diabasa: α_E = 1.2.
• Granito y gneis: α_E = 1.0.
• Caliza: α_E = 0.9.
• Arenisca: α_E = 0.7.

Entre la arenisca y el basalto, el módulo del mismo C30 varía 71 %. Un proyecto calculado con granito y construido con grava de arenisca tendrá un concreto 30 % menos rígido que lo previsto.

El coeficiente αi y el módulo secante

El módulo secante se obtiene del tangente inicial mediante un coeficiente que crece con la clase:

• Módulo secante: E_cs = α_i · E_ci.
• Coeficiente: α_i = 0.8 + 0.2 · f_ck/80 ≤ 1.0.

En el C20, α_i = 0.85; en el C50, 0.925; a partir del C80 llega a 1.0. El coeficiente traduce lo que mostró la gráfica anterior: los concretos de baja resistencia tienen una curva más inclinada desde el principio, y la secante queda muy por debajo de la tangente. Los concretos de alta resistencia son casi lineales hasta cerca de la ruptura, y las dos rectas coinciden.

El módulo antes de los 28 días

El módulo crece con la hidratación del cemento, pero más despacio que la resistencia. Entre 7 y 28 días, la NBR 6118 estima el módulo a la edad t a partir de la resistencia a esa edad, f_c(t), y de la resistencia a los 28 días, f_c:

• C20 a C45: E_ci(t) = [f_c(t) / f_c]^0.5 · E_ci.
• C50 a C90: E_ci(t) = [f_c(t) / f_c]^0.3 · E_ci.

Esta estimación es útil, por ejemplo, para el retiro de la cimbra y para el presfuerzo aplicado antes de los 28 días.

Qué cambió en la NBR 6118:2023 y la regla antigua que todavía circula

Para el módulo, nada cambió: la edición de 2023 conservó las expresiones y los coeficientes de 2014. El principal cambio del inciso 8.2 fue el coeficiente de fragilidad η_c, en el inciso 8.2.10.1, que se aplica a los concretos de más de 40 MPa y no altera el módulo. Lo que todavía aparece en apuntes y sitios web es la regla de las ediciones de 2003 y 2007: E_ci = 5600 · √f_ck sin α_E y E_cs = 0.85 · E_ci = 4760 · √f_ck. Esa regla quedó derogada en 2014. La mezcla de ambas, "E_ci = 0.85 · 5600 · √f_ck", es incorrecta en cualquier edición.

La tabla resume las expresiones vigentes:

Magnitud	Expresión (NBR 6118:2023)	Validez
Eci, grupo I	αE · 5600 · √fck (MPa)	C20 a C50
Eci, grupo II	21.5 · 103 · αE · (fck/10 + 1.25)1/3 (MPa)	C55 a C90
Ecs	αi · Eci	todas las clases
αi	0.8 + 0.2 · fck/80 ≤ 1.0	todas las clases
Eci(t)	[fc(t)/fc]0.5 o 0.3 · Eci	7 a 28 días

Las expresiones valen para concreto de masa específica normal, de 2,000 a 2,800 kg/m³. El concreto ligero y el concreto de ultra alto desempeño tienen un comportamiento y métodos propios.

Tabla del módulo de elasticidad del concreto por clase

La tabla 8.1 de la NBR 6118 da los valores estimados de E_ci, E_cs y α_i por clase, con granito como agregado grueso. Los valores siguientes se calcularon con las expresiones del inciso 8.2.8, con un decimal; la norma redondea a GPa enteros (C30: 31 y 27 GPa).

Clase	Eci (GPa)	αi	Ecs (GPa)
C20	25.0	0.850	21.3
C25	28.0	0.863	24.2
C30	30.7	0.875	26.8
C35	33.1	0.888	29.4
C40	35.4	0.900	31.9
C45	37.6	0.913	34.3
C50	39.6	0.925	36.6
C60	41.6	0.950	39.5
C70	43.4	0.975	42.4
C80	45.1	1.000	45.1
C90	46.7	1.000	46.7

La gráfica siguiente muestra los mismos valores en barras. Se ven dos efectos: la distancia entre E_ci y E_cs disminuye con la clase hasta desaparecer en el C80, y el aumento del módulo se reduce después del cambio de fórmula, en el grupo II. Del C30 al C70 la resistencia sube 133 %, y el E_ci solo 42 %.

Módulo de elasticidad del concreto de 25 MPa y de 30 MPa

Estas son las dos preguntas más frecuentes, y la respuesta depende del agregado. Con granito, el concreto de f_ck 25 MPa tiene E_ci = 5600 × 5 = 28.0 GPa y E_cs = 0.8625 × 28.0 = 24.2 GPa. El de 30 MPa tiene E_ci = 5600 × √30 = 30.7 GPa y E_cs = 0.875 × 30.7 = 26.8 GPa. La tabla siguiente aplica el α_E de cada roca a las dos clases:

Agregado (αE)	C25: Eci / Ecs (GPa)	C30: Eci / Ecs (GPa)
Basalto, diabasa (1.2)	33.6 / 29.0	36.8 / 32.2
Granito, gneis (1.0)	28.0 / 24.2	30.7 / 26.8
Caliza (0.9)	25.2 / 21.7	27.6 / 24.2
Arenisca (0.7)	19.6 / 16.9	21.5 / 18.8

El C30 en otras normas de proyecto

Cada código de proyecto tiene su propia expresión, y comparar el mismo concreto muestra la dispersión entre ellos. Los valores siguientes se calcularon para f_ck = 30 MPa con el agregado de referencia. El Eurocódigo 2 y el fib Model Code parten de la resistencia media, f_cm = f_ck + 8 MPa, por eso dan valores mayores.

Norma	Expresión	C30
NBR 6118:2023 (granito)	Eci = 5600 · √fck	30.7 GPa (Ecs 26.8)
NBR 6118:2007 (derogada)	Ecs = 4760 · √fck	26.1 GPa
ACI 318	Ec = 4700 · √f′c	25.7 GPa
Eurocódigo 2	Ecm = 22 · (fcm/10)0.3 GPa	32.8 GPa
fib Model Code 2010	Eci = 21.5 · 103 · (fcm/10)1/3	33.5 GPa

Como comparación con otro material de construcción, el acero de refuerzo tiene un módulo de 210 GPa según la NBR 6118, de 5 a 8 veces el de un concreto usual. Los detalles están en el artículo sobre el módulo de elasticidad del acero.

Qué hace variar el módulo del concreto

Las fórmulas de la norma dependen solo de f_ck y del tipo de roca, pero el módulo real de un concreto depende de la dosificación, del curado e incluso de la forma en que se ensaya la probeta. Conocer estos factores explica por qué dos concretos de la misma clase pueden tener módulos muy diferentes:

• Tipo y contenido de agregado grueso: es el factor principal, y no solo por la roca. En una recopilación de resultados de Brasil, la masa específica del concreto fue la variable que más influyó en el E_ci a los 28 días (Leal et al., 2020). Más agregado y menos pasta dan un concreto más rígido.
• Relación agua/cemento: más agua deja la pasta más porosa, y los poros no resisten la compresión. Una relación a/c alta reduce el módulo, y una baja lo aumenta.
• Edad: la hidratación del cemento continúa después de los 28 días y densifica la pasta; el módulo crece, pero más despacio que la resistencia.
• Curado: un curado húmedo insuficiente interrumpe la hidratación en la superficie y deja la pasta más porosa y microfisurada, con un módulo menor. Una temperatura y una humedad controladas durante el curado dan un módulo más estable.
• Humedad en el ensayo: una probeta saturada da un módulo cerca de 15 % mayor que una seca, porque el agua en los poros ayuda a soportar la compresión.
• Velocidad de carga: una carga muy lenta deja actuar la fluencia lenta durante el ensayo y reduce el módulo; una carga muy rápida lo sobrestima. Por eso la NBR 8522-1 fija la velocidad.
• Temperatura: a temperatura elevada, como en un incendio, la microfisuración y la pérdida de agua de la pasta reducen el módulo, y la estructura se deforma más bajo la misma carga.
• Banco de material: el mismo "granito" varía de una cantera a otra, algo que las fórmulas no ven.

Cómo es el ensayo del módulo de elasticidad del concreto (NBR 8522-1:2021)

El ensayo estático del módulo sigue la ABNT NBR 8522-1:2021 (la norma brasileña del módulo de elasticidad del concreto), "Concreto endurecido: Determinación de los módulos de elasticidad y de deformación. Parte 1: Módulos estáticos a compresión". Las probetas son cilíndricas, con una altura igual al doble del diámetro, en general de 100 × 200 mm o 150 × 300 mm, moldeadas y curadas según la NBR 5738 (la norma brasileña de moldeo y curado de probetas). La norma pide al menos cinco probetas del mismo concreto: dos se ensayan antes a la ruptura, según la NBR 5739 (la norma brasileña de ensayo de compresión de concreto, equivalente a ASTM C39), para obtener la resistencia f_c que define los niveles de carga, y tres se usan para el módulo.

La probeta se centra entre las platinas de una prensa o máquina universal, y la deformación se mide con extensómetros fijados en el propio concreto, en dos bases diametralmente opuestas; el resultado es el promedio de ambas. La medición tiene que hacerse en la probeta, y no por el desplazamiento de la máquina, por una cuestión de escala: en el tramo donde se mide el módulo, una probeta de 200 mm se acorta menos de 0.1 mm, y el desplazamiento del travesaño suma el asentamiento de las platinas, el cabeceo y la deformación de la propia máquina. El ejercicio 5 muestra el tamaño del error.

Metodologías A y B

La norma define dos formas de fijar el punto inicial de la cuerda. Las dos usan como punto final el esfuerzo σ_b = 0.3 · f_c:

• Metodología A, esfuerzo fijo: el punto inicial es el esfuerzo σ_a = 0.5 MPa, y la deformación ε_a se lee en ese esfuerzo.
• Metodología B, deformación fija: el punto inicial es la deformación ε_a = 50 · 10^-6, y el esfuerzo σ_a se lee en esa deformación.

Carga y lecturas, paso a paso

La carga se aplica en ciclos, con una velocidad de 0.45 ± 0.15 MPa/s, y cada nivel de esfuerzo se mantiene 60 s antes de la lectura. Los ciclos iniciales asientan la probeta en las platinas y estabilizan los extensómetros. La secuencia es la siguiente:

1. Centrar la probeta y fijar los extensómetros en las dos bases opuestas.
2. Hacer los ciclos de carga y descarga entre el nivel inicial (σ_a) y σ_b = 0.3 · f_c, manteniendo cada escalón 60 s.
3. Leer las deformaciones ε_a y ε_b en el último ciclo, en los 30 s que siguen a cada escalón.
4. Retirar los extensómetros y ensayar a la ruptura la probeta, obteniendo la resistencia efectiva f_c,ef.
5. Verificar la resistencia: si f_c,ef difiere en más de 20 % del f_c usado para definir σ_b, el resultado de esa probeta se descarta.

Cálculo del Eci y del Ecs en el ensayo

Con esfuerzos en MPa y deformaciones adimensionales, el factor 10^-3 convierte el resultado a GPa:

• Metodología A: E_ci = (σ_b − 0.5) / (ε_b − ε_a) · 10^-3.
• Metodología B: E_ci = (σ_b − σ_a) / (ε_b − 50 · 10^-6) · 10^-3.
• Módulo de deformación secante: E_cs = (σ_n − σ_a) / (ε_n − ε_a) · 10^-3, con σ_n el esfuerzo especificado.

El esfuerzo σ_n del módulo secante lo elige quien especifica el ensayo, en general el proyectista, según el esfuerzo de servicio que interesa. En el ensayo entra el f_c real de las probetas ensayadas a la ruptura, y no el f_ck del proyecto: el f_ck solo aparece en las fórmulas de estimación.

El ensayo según ASTM C469/C469M

La norma estadounidense mide el módulo cordal y el coeficiente de Poisson en el mismo ensayo. La cuerda va del esfuerzo correspondiente a la deformación de 50 · 10^-6 hasta el 40 % de la carga de ruptura, un rango un poco más alto que el de la NBR 8522-1, y la deformación es el promedio de dos líneas de medición opuestas. Debido al punto final más alto, el módulo de la ASTM tiende a quedar un poco por debajo del E_ci de la norma brasileña para el mismo concreto, como mostró la primera gráfica.

Módulo estático y módulo dinámico

El módulo también puede obtenerse sin cargar la probeta hasta el 30 % de la ruptura, con métodos dinámicos que miden vibración o propagación de ondas. La ABNT NBR 8522-2:2021 (la norma brasileña del módulo dinámico) determina el módulo de elasticidad dinámico, E_cd, por las frecuencias naturales de vibración: la probeta recibe un impacto ligero y la frecuencia de resonancia da el módulo. Otras referencias son la ASTM C215, por frecuencia de resonancia, la ASTM E1876, por excitación por impulso, y el ultrasonido de la NBR 8802 (la norma brasileña de velocidad de pulso ultrasónico).

Los dos módulos no son iguales. En el método dinámico el esfuerzo es mínimo, las microfisuras casi no se abren y el material responde prácticamente sin fluencia lenta, así que el E_cd resulta mayor: cerca de 20 % por encima del estático en concretos de alta resistencia, 30 % en los de resistencia media y 40 % en los de baja. En un estudio con concretos de basalto de Paraná, el dinámico quedó 16 % por encima del estático por excitación por impulso y 28 % por ultrasonido. La NBR 8522-1 incluye, en el Anexo B, una correlación empírica, el modelo de Popovics, para estimar el E_ci a partir del E_cd y de la masa específica. El método dinámico es rápido, no destruye la probeta y sirve para seguir la evolución del módulo; el valor que entra en la NBR 6118 es el estático, y usar el dinámico sin conversión sobrestima la rigidez.

Por qué importa el módulo: estimado o medido

El módulo no decide si la estructura resiste, pero sí decide cuánto se deforma. La flecha de vigas y losas, las grietas en muros de mampostería apoyados sobre ellas, la deformación diferida por fluencia lenta y la estabilidad global de edificios altos dependen del E_cs. Una losa con un módulo 15 % menor que el previsto tiene una flecha inmediata 15 % mayor, y la fluencia lenta (creep) amplía esa diferencia con los años.

El problema es que la fórmula de la norma es una estimación. Constructoras y laboratorios reportan que los valores ensayados suelen quedar por debajo de los estimados, y hay quien recomienda reducir la estimación entre 10 % y 15 % (IBRACON, 2023). Los datos publicados muestran la dimensión de la dispersión:

• Borin et al. (2010): en concretos de obra con resistencia cercana a 30 MPa, el módulo varió de 16.5 a 47.7 GPa, con 20 % de probabilidad de quedar por debajo de la estimación de la norma de la época.
• Leal et al. (2020): en la recopilación de resultados de Brasil, el α_E ajustado fue de 1.00 a 1.03 para granito y gneis, lo que confirma la norma; de 1.08 para caliza, por encima del 0.9 de la norma; y de 1.07 a 1.14 para basalto, por debajo del 1.2.
• Santos et al. (2017): con 324 probetas de basalto y dolomita del Triângulo Mineiro, las expresiones de la NBR 6118:2014 y del fib Model Code fueron las más cercanas a los resultados.
• Litoral Norte de São Paulo: un laboratorio local reporta concretos de 30 MPa con gneis y E_ci de hasta 26 GPa, cerca de 17 % por debajo de la estimación (Sotef, 2025).

La conclusión práctica es la de la propia NBR 6118: el módulo debe obtenerse del ensayo de la NBR 8522-1. En obras donde la flecha y el agrietamiento son críticos, el proyectista especifica el módulo mínimo, y el control de calidad del concreto lo verifica en laboratorio, con los agregados de la obra.

Ejercicios resueltos

Los seis ejercicios siguen el orden del artículo: estimación por la norma, efecto del agregado, alta resistencia, cálculo a partir de las lecturas del ensayo, el error de medir por el travesaño y el efecto del módulo en la flecha.

Ejercicio 1: Eci y Ecs de un C30 con granito

Datos: f_ck = 30 MPa, grava de granito, α_E = 1.0.

1. E_ci = 1.0 × 5600 × √30 = 5600 × 5.477 = 30,672 MPa ≈ 30.7 GPa.
2. α_i = 0.8 + 0.2 × 30/80 = 0.875, menor que 1.0.
3. E_cs = 0.875 × 30,672 = 26,838 MPa ≈ 26.8 GPa.

Ejercicio 2: el mismo C30 con basalto, y el C25 con granito

Con basalto, α_E = 1.2. Para el C25 con granito, √25 = 5.

1. C30 basalto: E_ci = 1.2 × 30,672 = 36,806 MPa; E_cs = 0.875 × 36,806 = 32,205 MPa, 20 % por encima del granito con el mismo f_ck.
2. C25 granito: E_ci = 5600 × 5 = 28,000 MPa; α_i = 0.8625; E_cs = 24,150 MPa.

Ejercicio 3: concreto de alta resistencia C70 con granito

El C70 pertenece al grupo II, así que la expresión es la de la raíz cúbica.

1. E_ci = 21,500 × 1.0 × (70/10 + 1.25)^1/3 = 21,500 × 8.25^1/3 = 21,500 × 2.0206 = 43,443 MPa.
2. α_i = 0.8 + 0.2 × 70/80 = 0.975.
3. E_cs = 0.975 × 43,443 = 42,357 MPa.

Con la raíz cuadrada, fuera de su rango, el resultado sería 5600 × √70 = 46,853 MPa, 8 % por encima del correcto.

Ejercicio 4: Eci a partir de las lecturas del ensayo (metodología A)

Datos didácticos: probeta de 100 × 200 mm; f_c de las probetas ensayadas antes a la ruptura = 32.0 MPa; dos extensómetros opuestos con base de 100 mm. Lectura promedio en el escalón de 0.5 MPa: ε_a = 20 · 10^-6. En el escalón de σ_b: ε_b = 325 · 10^-6.

1. Área: A = π × 50² = 7,854 mm².
2. σ_b = 0.30 × 32.0 = 9.6 MPa. Fuerzas en los escalones: 0.5 × 7,854 = 3.93 kN y 9.6 × 7,854 = 75.4 kN.
3. E_ci = (9.6 − 0.5) / (305 · 10^-6) · 10^-3 = 29.8 GPa.
4. Acortamiento medido en la base de 100 mm: 305 · 10^-6 × 100 = 0.0305 mm, o 30.5 µm.

Después de las lecturas, la probeta se ensaya a la ruptura; si el f_c,ef queda fuera de 32.0 ± 20 %, el resultado se descarta.

Ejercicio 5: el error de medir por el travesaño

En el mismo ensayo, el desplazamiento del travesaño entre las mismas dos fuerzas fue de 0.122 mm. El concreto, en los 200 mm de altura, se acortó 305 · 10^-6 × 200 = 0.061 mm; los otros 0.061 mm provienen del asentamiento de las platinas, del cabeceo y de la deformación de la máquina.

1. Deformación aparente: 0.122 / 200 = 610 · 10^-6.
2. Módulo aparente: 9.1 / (610 · 10^-6) · 10^-3 = 14.9 GPa, la mitad del valor real.

El módulo solo se mide con un extensómetro en la probeta, y lo mismo vale para los metales en el ensayo de tracción.

Ejercicio 6: efecto del módulo en la flecha

Viga simplemente apoyada de 5 m, carga distribuida de 10 kN/m, sección de 15 × 40 cm, concreto C25 con granito. Momento de inercia de la sección bruta: I = 0.15 × 0.40³ / 12 = 8.0 · 10^-4 m⁴. Flecha elástica inmediata: δ = 5·q·L⁴ / (384·E·I).

1. Con E_cs = 24.15 GPa: δ = 5 × 10,000 × 625 / (384 × 24.15 · 10⁹ × 8.0 · 10^-4) = 4.2 mm.
2. Con E_ci = 28 GPa, por error: δ = 3.6 mm, 14 % menos.
3. Con basalto (E_cs = 29.0 GPa): 3.5 mm. Con arenisca (16.9 GPa): 6.0 mm.

La NBR 6118 calcula la flecha con la inercia equivalente de la sección agrietada y suma la fluencia lenta; el ejercicio aísla solo el efecto del módulo. La relación entre rigidez y flecha se trata también en el ensayo de flexión.

Errores comunes con el módulo del concreto

Los errores siguientes aparecen con frecuencia en memorias de cálculo, informes y textos técnicos, y cada uno ya se trató en una sección de este artículo:

• Usar E_ci donde la norma pide E_cs: en las flechas y en los esfuerzos internos, subestima la deformación entre 7 % y 15 % en las clases de C20 a C50.
• Olvidar el α_E: diseñar con granito y construir con arenisca da un módulo 30 % menor.
• Usar la regla derogada: E_cs = 0.85 · E_ci, o la mezcla "0.85 · 5600 · √f_ck", no es válida desde 2014.
• Confundir el rango de la fórmula: la raíz cuadrada vale hasta C50, y la cúbica, de C55 a C90.
• Usar f_ck en el ensayo: σ_b = 0.3 · f_c, con el f_c medido en las probetas ensayadas antes a la ruptura.
• Medir la deformación por el travesaño: el módulo resulta mucho menor que el real.
• Comparar el dinámico con el estático sin conversión: el dinámico es entre 20 % y 40 % mayor.
• Tomar el módulo como constante: la humedad, el banco de material y el procedimiento cambian el resultado, y la variación entre laboratorios llega a 10 % a 15 %.

Normas del módulo de elasticidad del concreto

Las normas brasileñas cubren el diseño (NBR 6118), el ensayo estático y el dinámico (NBR 8522-1 y -2) y la preparación de las probetas. La tabla reúne las citadas en este artículo:

Norma	Qué trata	Edición
ABNT NBR 6118	diseño de estructuras de concreto: Eci, Ecs, αE, αi, tabla 8.1	2023
ABNT NBR 8522-1	módulos estáticos de elasticidad y de deformación a compresión	2021
ABNT NBR 8522-2	módulo dinámico por las frecuencias naturales de vibración	2021
ABNT NBR 5739	ensayo de compresión de probetas cilíndricas	2018
ABNT NBR 5738	moldeo y curado de probetas	2015
ABNT NBR 8953	clasificación del concreto por grupos de resistencia (C20 a C90)	no indicada
ABNT NBR 8802	velocidad de propagación de onda ultrasónica	no indicada
ASTM C469/C469M	módulo estático y coeficiente de Poisson del concreto a compresión	C469/C469M-22
ASTM C215	frecuencias de resonancia de probetas de concreto	no indicada
ASTM E1876	módulo dinámico por excitación por impulso	no indicada
ASTM E111	definiciones de módulo de Young, tangente y cordal	E111-17(2025)e1
ACI 318, Eurocode 2, fib Model Code 2010	códigos de diseño con expresiones propias del módulo	no indicada

Dos correcciones respecto a listas que circulan, incluida la versión anterior de este artículo: la NBR 8953 clasifica el concreto por resistencia y no trata del ultrasonido, que es tema de la NBR 8802; y la ISO 6784, citada como norma internacional del módulo estático, fue sustituida por la ISO 1920-10.

Máquina para el ensayo de módulo de elasticidad del concreto

El ensayo de la NBR 8522-1 (la norma brasileña de módulo de elasticidad estático del concreto a compresión) pide tres cosas al equipo. Debe aplicar la compresión con velocidad controlada y mantener los escalones de carga, medir la fuerza con una celda de carga calibrada y leer la deformación con extensómetros fijados en la probeta. La máquina también tiene que romper la probeta al final del ensayo: un cilindro de 100 × 200 mm de C30 rompe cerca de 236 kN, y uno de 150 × 300 mm, cerca de 530 kN. La máquina universal Biopdi de la línea M2 tiene modelos de piso de 300 kN, 600 kN y 1,000 kN, celdas de carga clase 1 según ISO 7500-1 (ABNT NBR ISO 7500-1:2023 en Brasil) y el software BioLab. El panel de abajo muestra la máquina, la función de cada parte en el ensayo de módulo y los platos de compresión.

Para probetas de 100 × 200 mm hasta C25, la indicada es la máquina universal de 300 kN (MBIOII-300-M2), cuya página menciona el concreto y la NBR 5739:2018 (la norma brasileña de ensayo de compresión de concreto); de C30 a C50 en la misma probeta, la de 600 kN (MBIOII-600-M2); y para cilindros de 150 × 300 mm de clases altas, la de 1,000 kN (MBIOII-1000-M2). El software BioLab permite armar el ensayo por script y crear cálculos personalizados, como el módulo cordal (σ_b − 0.5) / (ε_b − ε_a). Los extensómetros adecuados para probetas de concreto y la configuración de la rutina de la NBR 8522-1 se definen en la cotización. Para elegir entre los modelos, consulte la guía de la máquina universal de ensayos.