Resistencia de materiales: conceptos, fórmulas y ejemplos

La resistencia de materiales es la disciplina de la ingeniería que calcula los esfuerzos y las deformaciones que las cargas provocan en piezas deformables, para que no se rompan, no fluyan y no se deformen demasiado. La estática trata el cuerpo como rígido; la resistencia de materiales acepta que se deforma y usa propiedades medidas en ensayo. El cálculo central es siempre el mismo: encontrar la fuerza interna, convertirla en esfuerzo (σ = N / A en la tracción simple) y compararla con el esfuerzo admisible del material.

El razonamiento de la disciplina cabe en cuatro pasos:

1. Fuerzas internas: el equilibrio de la pieza da, en cada sección, la fuerza normal N, la fuerza cortante V, el momento flector M y el momento torsor T.
2. Esfuerzos: cada fuerza interna se convierte en un esfuerzo normal σ o cortante τ, mediante una fórmula que depende de la geometría de la sección.
3. Verificación: el esfuerzo de servicio se compara con el admisible, σ_adm = σ_e / n, y el desplazamiento, con el límite del proyecto.
4. Datos del material: el módulo de elasticidad E, el límite de fluencia σ_e y la resistencia a la tracción σ_r se obtienen en ensayo, por lo general en el ensayo de tracción (prueba de tensión).

Esta guía explica los conceptos en ese orden, reúne una tabla de fórmulas con unidades y límite de validez, resuelve cinco ejercicios numéricos e indica los libros del curso. En la foto, una barra de acero en flexión de tres puntos en la máquina universal de ensayos: dos rodillos apoyan los extremos, la cuchilla de carga actúa en el centro del claro y la barra se curva sin romperse, el mismo problema que la teoría de vigas describe en el papel.

Qué es la resistencia de materiales

La resistencia de materiales es la rama de la mecánica aplicada que relaciona las cargas externas que actúan sobre un cuerpo deformable con las fuerzas internas, los esfuerzos y las deformaciones que producen. Los apuntes de Resistência dos Materiais I de la UFJF (2012), uno de los materiales abiertos más usados en Brasil, definen la disciplina como una "ciencia desarrollada a partir de ensayos experimentales y de análisis teóricos": las fórmulas vienen de la teoría, y los números que entran en ellas vienen del laboratorio.

Estática y resistencia de materiales

La diferencia entre las dos disciplinas está en la hipótesis sobre el cuerpo. La estática supone el cuerpo perfectamente rígido y responde a una pregunta: qué fuerzas y reacciones mantienen la pieza en equilibrio. La resistencia de materiales parte de esas fuerzas y responde a otras dos: cuánto se solicita cada punto de la pieza (el esfuerzo) y cuánto cambia de forma la pieza (la deformación y el desplazamiento). Una viga de acero y una de madera, con el mismo claro y la misma carga, tienen las mismas reacciones en los apoyos en la estática; en la resistencia de materiales tienen flechas diferentes, porque el módulo de elasticidad de cada material es diferente.

Disciplina y propiedad: resistencia de materiales × resistencia mecánica

"Resistencia de materiales" es el nombre de la disciplina; "resistencia mecánica" es una propiedad del material, el esfuerzo máximo que soporta antes de fluir o de romperse. La confusión es común, y la propia Wikipedia en portugués abre el artículo de la disciplina definiendo la propiedad. La propiedad, con la fluencia, la resistencia a la tracción y cómo se mide cada una, está en el artículo sobre resistencia mecánica; la lista completa de las propiedades, con la unidad, el ensayo y la norma de cada una, está en propiedades mecánicas de los materiales. Aquí el tema es la disciplina, que usa esas propiedades como datos de entrada.

Mecánica de materiales es lo mismo que resistencia de materiales

"Mecánica de materiales" es otro nombre de la misma disciplina. Traduce el título en inglés Mechanics of Materials, usado en los libros de Beer y Johnston y de Gere y Goodno, mientras que "Resistência dos materiais" es el nombre tradicional en portugués y el título brasileño del libro de Hibbeler. En Portugal aparece también "Resistência de materiais". En los programas de posgrado, la continuación de la disciplina suele llamarse mecánica de sólidos o teoría de la elasticidad.

Las hipótesis del curso

Las fórmulas del curso básico valen dentro de un conjunto de hipótesis simplificadoras, y buena parte de los errores de aplicación viene de olvidarlas:

• Material homogéneo e isótropo: las propiedades son iguales en todos los puntos y en todas las direcciones, lo que se cumple bien para el acero y mal para la madera y los compuestos;
• Régimen elástico lineal: el esfuerzo es proporcional a la deformación (ley de Hooke) y la pieza recupera su forma original cuando se retira la carga;
• Pequeñas deformaciones: la geometría cambia tan poco que el equilibrio puede plantearse en la forma no deformada;
• Principio de Saint-Venant: lejos del punto de aplicación de la carga, de los agujeros y de los cambios de sección, la distribución de esfuerzos depende solo de la fuerza resultante, y no de la forma exacta en que se aplicó la carga.

Breve historia

Galileo Galilei trató la resistencia de las vigas en Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (Leiden, 1638), y una de las dos "nuevas ciencias" del título es precisamente la resistencia de materiales, estudiada con la viga en voladizo. Robert Hooke publicó la proporcionalidad entre fuerza y alargamiento en 1678 ("ut tensio, sic vis"), y Leonhard Euler dedujo la carga crítica de pandeo de columnas en 1744, en un apéndice del Methodus inveniendi lineas curvas. La historia completa de la disciplina, hasta el siglo XX, está en History of Strength of Materials, de Stephen Timoshenko (McGraw-Hill, 1953).

Para qué sirve y dónde entra en la carrera de ingeniería

La resistencia de materiales sirve para dimensionar y verificar piezas: elegir la sección de una viga, el diámetro de un eje, la cantidad de tornillos de una unión o el espesor de una placa para que la pieza soporte la carga con seguridad y sin deformarse más de lo aceptable. Es la disciplina que convierte el equilibrio de la estática en decisiones de diseño.

Aplicaciones por ingeniería

Toda ingeniería que diseña objetos físicos usa la disciplina, cada una con su enfoque:

• Ingeniería civil: vigas, columnas, losas, armaduras y uniones; es la base de las normas brasileñas de estructuras de acero (ABNT NBR 8800) y de concreto (ABNT NBR 6118);
• Ingeniería mecánica: ejes de transmisión, resortes, tornillos, recipientes a presión y elementos de máquinas;
• Ingeniería de materiales: la relación entre la microestructura y las propiedades que entran en las fórmulas, y el ensayo que las mide;
• Ingeniería industrial: selección de material y de proceso, dispositivos de sujeción y control de calidad de componentes.

Requisitos previos y materias siguientes

Por lo general, la resistencia de materiales viene después de Estática (o Mecánica General) y de Cálculo, en el ciclo básico de las ingenierías, y muchas facultades la dividen en Resistencia de Materiales I y II. La división y el semestre varían según la institución. Los apuntes de la UFJF dan un retrato típico del primer curso: esfuerzos y deformaciones, tracción y compresión, cortante, torsión, flexión, esfuerzo cortante en vigas, deformación de vigas y problemas hiperestáticos. Después vienen Teoría de las Estructuras, Estructuras de Concreto y de Acero, Elementos de Máquinas y, en el posgrado, Mecánica de Sólidos.

¿La resistencia de materiales es difícil?

Es una de las materias más exigentes del ciclo básico, porque reúne tres cosas que el estudiante vio por separado: el equilibrio de la estática, el cálculo integral y la geometría de las secciones (centroide y momento de inercia). La literatura sobre enseñanza de la ingeniería registra un punto de dificultad específico: el estudio de Creuziger y Crone, de la Universidad de Wisconsin-Madison, presentado en la conferencia anual de la ASEE en 2006, parte de la constatación de que el esfuerzo cortante es un concepto difícil para los alumnos cuando aparece por primera vez en la materia. En la práctica, tres hábitos resuelven buena parte del problema: trabajar siempre en N, mm y MPa, dibujar el diagrama de cuerpo libre antes de cualquier fórmula y comprobar si el resultado tiene sentido físico, como hacen los ejercicios de este artículo.

Fuerzas internas: normal, cortante, flector y torsor

Las fuerzas internas son las fuerzas y los momentos que una parte de la pieza transmite a la otra a través de una sección. Para encontrarlas se usa el método de las secciones: se corta la pieza con un plano imaginario en el punto de interés, se aísla uno de los lados y se le aplica el equilibrio. Las fuerzas que aparecen en la cara cortada son exactamente las que mantienen en equilibrio el tramo aislado. En un problema general hay seis componentes, que se agrupan en cuatro fuerzas internas:

Fuerza interna	Símbolo	Esfuerzo que provoca	Ejemplo
Fuerza normal	N	σ uniforme (tracción positiva, compresión negativa)	Tirante, cable, columna
Fuerza cortante	V	τ en la sección	Tornillo en una junta, alma de viga
Momento flector	M	σ lineal: tracción de un lado, compresión del otro	Viga, repisa, eje apoyado
Momento torsor	T	τ lineal con el radio	Eje de transmisión, llave española

El esquema de abajo muestra, para cada fuerza interna, el tramo aislado por el corte con la fuerza en la cara y, debajo, cómo se distribuye el esfuerzo en la sección. Observe que solo la fuerza normal produce un esfuerzo uniforme; en los otros tres casos el esfuerzo varía de un punto a otro, y lo que interesa al diseño es el valor máximo, en la fibra más solicitada.

Diagramas de fuerzas internas

Como las fuerzas internas cambian a lo largo de la pieza, el curso enseña a trazarlas en gráficas: el diagrama de fuerza normal (DFN), el de fuerza cortante (DFC) y el de momento flector (DMF). El punto de mayor valor del diagrama indica la sección crítica, donde se hace la verificación. En una viga simplemente apoyada con carga en el centro del claro, por ejemplo, el momento es cero en los apoyos y máximo bajo la carga, P · L / 4; ahí es donde la viga trabaja más, como muestra el ejercicio 3. Dos relaciones ayudan a revisar los diagramas: la pendiente del diagrama de momento es igual a la cortante, y el momento es máximo donde la cortante cambia de signo.

Esfuerzo y deformación

El esfuerzo es la fuerza interna por unidad de área de una sección, y la deformación es el cambio de forma relativo que esa fuerza produce. Las dos magnitudes hacen que el cálculo sea independiente del tamaño de la pieza: una barra delgada y una gruesa del mismo acero fluyen con el mismo esfuerzo, aunque con fuerzas muy diferentes.

Esfuerzo normal y esfuerzo cortante

El esfuerzo normal, σ, actúa perpendicularmente a la sección: σ = N / A, con N la fuerza normal y A el área. El esfuerzo cortante, τ, actúa en el plano de la sección y, en su forma más simple, es el promedio τ = V / A. La unidad del SI es el pascal (Pa = N/m²), demasiado pequeño para la ingeniería; en la práctica se usa el megapascal, y hay un atajo que evita la mayoría de los errores: 1 MPa = 1 N/mm². Con la fuerza en newtons y el área en milímetros cuadrados, la división ya sale en MPa.

Deformación normal y deformación angular

La deformación normal, ε, es el alargamiento dividido entre la longitud inicial, ε = δ / L₀, adimensional; es común expresarla en %, en mm/mm o en microdeformaciones (µε, 10⁻⁶). La deformación angular (distorsión), γ, es la deformación por cortante: la variación del ángulo recto entre dos líneas de la pieza, medida en radianes. Cuando una barra se somete a tracción, se alarga en la dirección de la carga y se adelgaza en la dirección transversal; la razón entre las dos deformaciones es el coeficiente de Poisson, ν = − ε_lat / ε_long.

Ley de Hooke y constantes elásticas

En el régimen elástico, el esfuerzo es proporcional a la deformación: σ = E · ε, la ley de Hooke escrita en esfuerzos, que no depende de la geometría de la pieza. La constante E es el módulo de elasticidad, o módulo de Young, y mide la rigidez del material. En cortante, la misma ley queda τ = G · γ, con G el módulo de corte. En un material isótropo, las tres constantes se relacionan por G = E / [2 (1 + ν)]. Para el acero estructural, la ABNT NBR 8800 adopta E = 200 GPa; con ν = 0.3, la relación da G = 200 / 2.6 = 76.9 GPa, los cerca de 77 GPa que usan los libros (cálculo de Biopdi). La ley vale solo hasta el límite de proporcionalidad; después de él, la curva se aleja de la recta y las fórmulas elásticas dejan de ser válidas.

De dónde vienen E, σe y σr: el ensayo de tracción

Los tres números que alimentan casi todos los cálculos salen del ensayo de tracción: una probeta normalizada se somete a tracción hasta la rotura en una máquina universal, la celda de carga mide la fuerza, el extensómetro mide el alargamiento y el software convierte todo en esfuerzo y deformación. La gráfica de abajo muestra una curva esfuerzo-deformación esquemática de acero dúctil con solo las tres marcas que interesan aquí, y hacia dónde va cada una: la pendiente del tramo inicial es el módulo E; el límite de fluencia σ_e se lee donde una recta paralela al tramo elástico, desplazada 0.2 % de deformación, corta la curva; y la resistencia a la tracción σ_r es el punto más alto.

Sin esos números, las fórmulas no tienen qué calcular. La lectura completa de la curva, con el límite de proporcionalidad, la meseta de fluencia, la estricción y la curva real, está en el artículo del diagrama esfuerzo-deformación. Para metales, el ensayo sigue la ABNT NBR ISO 6892-1:2024 (adopción brasileña de la ISO 6892-1) o la ASTM E8/E8M-25, y la determinación exacta del módulo tiene norma propia, la ASTM E111-17(2025)e1 (ediciones verificadas el 07/10/2026).

Tabla de fórmulas de resistencia de materiales

Las fórmulas de la resistencia de materiales relacionan cada esfuerzo interno con el esfuerzo o el desplazamiento que produce. La tabla reúne las principales del curso básico, con las unidades prácticas (N, mm, MPa) y el límite de validez de cada una. Son las formas clásicas que aparecen en los libros de Hibbeler, de Beer y Johnston y de Gere y Goodno. Todas suponen un material homogéneo, isotrópico y en régimen lineal elástico:

Magnitud	Fórmula	Unidades prácticas	Cuándo es válida
Esfuerzo normal promedio	σ = N / A	N, mm² → MPa	Carga axial centrada, lejos de agujeros y muescas
Esfuerzo cortante promedio	τ = V / A	N, mm² → MPa	Promedio; en una viga el máximo es mayor (1.5 × en el rectángulo)
Deformación unitaria normal	ε = δ / L0	adimensional (mm/mm, %, µε)	Deformaciones pequeñas
Ley de Hooke	σ = E · ε ; τ = G · γ	E y G en MPa (200 GPa = 200,000 MPa)	Hasta el límite de proporcionalidad
Relación entre constantes	G = E / [2 (1 + ν)]	MPa	Material isotrópico
Alargamiento de una barra	δ = N · L / (E · A)	mm	N, E y A constantes en el tramo
Flexión (Navier)	σ = M · y / I ; σmáx = M / W	M en N·mm, I en mm⁴ → MPa	Las secciones planas siguen planas; material lineal
Momento de inercia	rectángulo: b · h³ / 12 ; círculo: π · d⁴ / 64	mm⁴	Respecto al eje centroidal de flexión
Módulo de sección (módulo resistente)	W = I / c ; rectángulo: b · h² / 6	mm³	c = distancia del eje neutro a la fibra extrema
Esfuerzo cortante máximo en viga rectangular	τmáx = 1.5 · V / A	MPa	Sección rectangular, en el eje neutro
Torsión	τ = T · r / J ; τmáx = 16 T / (π d³)	T en N·mm → MPa	Solo sección circular, maciza o tubular
Momento polar de inercia	macizo: π d⁴ / 32 ; tubo: π (D⁴ − d⁴) / 32	mm⁴	Sección circular
Ángulo de torsión	φ = T · L / (G · J)	rad	T, G y J constantes en el tramo
Pandeo de Euler	Pcr = π² · E · I / (K · L)²	N (con I mínimo)	Columna esbelta: σcr por debajo del límite de proporcionalidad
Esfuerzo crítico	σcr = π² · E / (K L / r)² ; r = √(I / A)	MPa	Ídem
Esfuerzo admisible	σadm = σe / n (o σr / n)	MPa	Método de esfuerzos admisibles; n > 1

La columna "cuándo es válida" importa tanto como la fórmula. Un formulario sin los límites lleva a los errores más comunes del curso, como usar τ = T · r / J en una barra cuadrada o aplicar Euler a una columna corta. Las secciones siguientes explican cada grupo de fórmulas y su límite.

Carga axial: tracción y compresión

Carga axial es la fuerza aplicada a lo largo del eje de la pieza, que la alarga (tracción) o la acorta (compresión) sin flexionarla. El esfuerzo es σ = N / A y es uniforme en la sección siempre que la carga pase por el centroide y la sección esté lejos de agujeros y de cambios bruscos de diámetro. El alargamiento sale de la ley de Hooke: como σ = E · ε y ε = δ / L, se llega a δ = N · L / (E · A). La fórmula muestra que el alargamiento crece con la fuerza y la longitud, y disminuye con la rigidez del material y con el área.

La convención usual es tracción positiva y compresión negativa. En compresión, las mismas fórmulas valen mientras la pieza sea corta; si es esbelta, aparece antes otro modo de falla, el pandeo, que se trata más adelante. Cuando la pieza tiene tramos con áreas o fuerzas distintas, el alargamiento total es la suma de los alargamientos de cada tramo. El ensayo que mide la respuesta del material a la carga axial de compresión está en el artículo del ensayo de compresión.

Flexión de vigas

La flexión es el comportamiento de una pieza cargada transversalmente a su eje, como una viga o un anaquel: se curva, las fibras de un lado se alargan y las del otro se acortan. Entre ambas existe una superficie que no cambia de longitud, el eje neutro (superficie neutra), que pasa por el centroide de la sección cuando el material es lineal y no hay fuerza normal.

La fórmula de Navier

El esfuerzo normal en flexión varía linealmente con la distancia al eje neutro: σ = M · y / I, donde M es el momento flector en la sección, y es la distancia del punto al eje neutro e I es el momento de inercia de la sección respecto al eje de flexión. El esfuerzo es cero en el eje neutro y máximo en las fibras más alejadas, a una distancia c; por eso el diseño usa σ_máx = M · c / I = M / W, con W = I / c el módulo de sección. En una viga simplemente apoyada con carga hacia abajo, las fibras superiores trabajan a compresión y las inferiores, a tracción.

Por qué la viga trabaja "de canto"

El momento de inercia de un rectángulo es b · h³ / 12: crece con el cubo del peralte y solo linealmente con el ancho. Girar la misma pieza para que la dimensión mayor quede vertical aumenta mucho el I y, con él, reduce el esfuerzo y la deflexión (flecha). Es el mismo motivo por el cual los perfiles I y las vigas cajón concentran el material lejos del eje neutro, donde más contribuye al I. El ejercicio 3 muestra el efecto en números: la misma pieza de 100 × 200 mm trabaja con el doble de esfuerzo cuando está acostada.

Cortante en la flexión

Además del momento, la viga soporta una fuerza cortante, que produce esfuerzo cortante en la sección. Ese esfuerzo no es uniforme: es cero en las fibras extremas y máximo en el eje neutro, y en una sección rectangular el máximo vale 1.5 veces el promedio, τ_máx = 1.5 · V / A, según la expresión general τ = V · Q / (I · t) de los libros. En vigas largas y esbeltas, el esfuerzo normal de flexión suele gobernar el diseño; en vigas cortas, muy cargadas cerca del apoyo, o de madera, el cortante puede ser el que decida. El ensayo que reproduce la flexión en laboratorio, con tres o cuatro puntos de carga, está en el artículo del ensayo de flexión.

Torsión de ejes circulares

La torsión es la carga por un momento alrededor del eje de la pieza, el caso típico de un eje de transmisión o de una llave que aprieta un tornillo. En una sección circular, cada sección gira respecto a la vecina como un disco rígido, y el esfuerzo cortante crece linealmente desde el centro, donde es cero, hasta la superficie: τ = T · r / J, con T el par de torsión, r la distancia al centro y J el momento polar de inercia (π · d⁴ / 32 en el eje macizo). En la superficie, τ_máx = 16 T / (π d³).

El ángulo de torsión entre dos secciones separadas una distancia L es φ = T · L / (G · J), en radianes. Es para la torsión lo que δ = N L / (E A) es para la carga axial, con G en lugar de E y J en lugar de A. La fórmula sirve para verificar la rigidez del eje: un eje puede resistir el esfuerzo y, aun así, torcerse demasiado para que el mecanismo funcione.

Como el esfuerzo en el centro es pequeño, el material ahí contribuye poco: un eje tubular transmite casi el mismo par con mucha menos masa, y por eso muchos ejes cardán de vehículos son tubos. En cambio, las fórmulas no valen para secciones no circulares: una barra cuadrada o un perfil abierto se alabea al torcerse, las secciones dejan de ser planas, y el esfuerzo máximo aparece a la mitad del lado, no en la esquina. El ensayo que mide el par, el ángulo y el módulo G está en el artículo del ensayo de torsión.

Pandeo de columnas

El pandeo es la pérdida de estabilidad de una pieza esbelta a compresión: a partir de una carga crítica, la columna deja de acortarse en línea recta y se curva lateralmente, de golpe, aun con el esfuerzo muy por debajo de la fluencia. Es un modo de falla por geometría, no por resistencia del material.

La carga crítica de Euler

Para una columna ideal, recta, con carga centrada y material elástico, la carga crítica es P_cr = π² · E · I / (K · L)². El producto K · L es la longitud efectiva, L_e, e I es el momento de inercia mínimo de la sección, porque la columna se pandea hacia el lado en que es menos rígida. La fórmula trae dos consecuencias que sorprenden a quien la ve por primera vez:

• La carga crítica no depende de la resistencia del material. Depende de E, y el módulo de elasticidad es prácticamente el mismo para todos los aceros, cerca de 200 GPa. Una columna esbelta de acero de alta resistencia se pandea con la misma carga que una de acero común con la misma geometría.
• La carga disminuye con el cuadrado de la longitud. Duplicar la longitud divide la carga crítica entre cuatro.

Condiciones de apoyo y el factor K

El factor de longitud efectiva K expresa la condición de los extremos: cuanto más restringidos, más corta es la "media onda" de la forma pandeada y mayor la carga crítica. Los valores teóricos son 1.0 para la columna articulada en ambos extremos, 2.0 para la empotrada y libre, 0.7 para la empotrada y articulada y 0.5 para la empotrada en ambos extremos. El esquema siguiente dibuja la forma pandeada de cada caso y calcula la carga crítica para una misma barra maciza de acero de 30 mm de diámetro y 2 m de longitud, la barra del ejercicio 5: la carga va de 4.9 kN, con un extremo libre, a 78.5 kN, con ambos empotrados, una diferencia de 16 veces solo por la forma de sujetarla.

Las normas de diseño recomiendan valores de K un poco mayores que los teóricos en los casos con empotramiento, porque un empotramiento real nunca es perfectamente rígido. Al verificar una estructura, rige el valor de la norma aplicable.

Cuándo es válida la fórmula de Euler

Euler supone un material elástico durante todo el pandeo, así que la fórmula solo es válida si el esfuerzo crítico σ_cr = P_cr / A queda por debajo del límite de proporcionalidad. La forma práctica de comprobarlo es con la relación de esbeltez, K · L / r, con r = √(I / A) el radio de giro. Tomando σ_e = 250 MPa y E = 200 GPa como referencia, σ_cr = σ_e cuando K L / r = π · √(E / σ_e) ≈ 89 (cálculo de Biopdi). Las columnas más esbeltas que eso siguen a Euler; las columnas cortas e intermedias fallan por una combinación de fluencia e inestabilidad, y para ellas se usan fórmulas inelásticas o las curvas de resistencia de las normas de diseño.

Esfuerzo admisible y factor de seguridad

El esfuerzo admisible es el mayor esfuerzo que el diseño permite en una pieza en servicio: el límite del material dividido entre un factor de seguridad mayor que 1, σ_adm = σ_lím / n. El factor de seguridad, n, es la razón entre el esfuerzo (o la carga) que lleva a la falla y el de servicio. Existe para cubrir lo que el cálculo no conoce con exactitud: la carga real, que puede superar la prevista; la dispersión del material, porque no todo lote tiene la resistencia del ensayo; las simplificaciones del modelo, y los defectos de fabricación y de montaje.

Qué límite usar

La elección del límite depende del comportamiento del material:

• Material dúctil (acero estructural, aluminio, cobre): se usa el límite de fluencia, σ_adm = σ_e / n, porque una pieza que fluye ya se deformó permanentemente y dejó de servir, aunque no se rompa.
• Material frágil (hierro fundido gris, cerámica, vidrio, concreto a tracción): no hay fluencia definida, y se usa la resistencia última, σ_adm = σ_r / n, en general con un n mayor, porque la rotura llega sin aviso.

Un factor de seguridad sin la indicación del límite no dice nada. En el ejercicio 1, la misma barra tiene n = 1.57 respecto a la fluencia y n = 2.51 respecto a la rotura, con el mismo acero y la misma carga.

Esfuerzo admisible × estados límite de las normas

El "n" único es la forma didáctica del método de esfuerzos admisibles, el de los libros del curso básico. Las normas brasileñas de estructuras trabajan de otra manera: la ABNT NBR 8800:2024 (la norma brasileña de estructuras de acero y mixtas de edificaciones; versión corregida de 2025, edición verificada el 07/10/2026 en la ficha del catálogo) y la ABNT NBR 6118 (la norma brasileña de estructuras de concreto) usan el método de estados límite, en el que las acciones se mayoran y las resistencias se minoran mediante factores parciales, separados por tipo de acción y de material. El estudiante debe dominar el esfuerzo admisible para entender el razonamiento, pero el dimensionamiento de una estructura real sigue los factores y las combinaciones de la norma aplicable.

Ejercicios resueltos de resistencia de materiales

Los cinco ejercicios siguientes cubren los temas centrales del curso, uno por tipo de esfuerzo, y todos fueron calculados y revisados por Biopdi. Las propiedades son las del acero estructural que usamos en los artículos del sitio: E = 200 GPa, G = 77 GPa y σ_e = 250 MPa, el esfuerzo de fluencia mínimo del acero ASTM A36, cuya resistencia a la tracción especificada va de 400 a 550 MPa. Todos usan N, mm y MPa.

Ejercicio 1: tracción, verificación y alargamiento

Una barra maciza de acero A36, de 20 mm de diámetro y 2.0 m de longitud, se somete a tracción con 50 kN. Con un factor de seguridad n = 1.5 respecto a la fluencia, ¿la barra cumple? ¿Cuánto se alarga?

1. Área: A = π · d² / 4 = π · 20² / 4 = 314.16 mm².
2. Esfuerzo: σ = N / A = 50,000 / 314.16 = 159.2 MPa.
3. Esfuerzo admisible: σ_adm = 250 / 1.5 = 166.7 MPa. Como 159.2 < 166.7, la barra cumple.
4. Alargamiento: δ = N · L / (E · A) = 50,000 × 2,000 / (200,000 × 314.16) = 1.59 mm.
5. Comprobación por la deformación unitaria: ε = σ / E = 159.2 / 200,000 = 7.96 · 10⁻⁴, o 0.080 %; δ = ε · L = 0.000796 × 2,000 = 1.59 mm.

Respuesta: σ ≈ 159 MPa, por debajo de los 167 MPa admisibles; alargamiento de 1.6 mm. El factor de seguridad real es 250 / 159.2 = 1.57 respecto a la fluencia y 400 / 159.2 = 2.51 respecto a la resistencia a la tracción mínima del A36.

Ejercicio 2: corte (cizallamiento) en un tornillo

Dos placas traslapadas se unen con un solo tornillo de 12 mm de diámetro, en cortante simple (una sola sección del tornillo trabaja a corte), y la junta transmite 10 kN. ¿Cuál es el esfuerzo cortante promedio en el tornillo?

1. Área a corte: A = π · 12² / 4 = 113.1 mm².
2. Esfuerzo promedio: τ = V / A = 10,000 / 113.1 = 88.4 MPa.

Respuesta: τ ≈ 88 MPa. Es un esfuerzo promedio, y la verificación real de una unión atornillada sigue la norma de diseño, que considera también el aplastamiento de la placa en el barreno y la ruptura de la placa en la sección con barreno. Si la misma junta tuviera dos secciones de corte (cortante doble, con el tornillo atravesando tres placas), el esfuerzo bajaría a la mitad, 44.2 MPa.

Ejercicio 3: flexión de una viga simplemente apoyada

Una viga de sección rectangular, b = 100 mm y h = 200 mm, salva un claro de 4 m entre dos apoyos y recibe una carga concentrada de 10 kN en el centro del claro. Despreciando el peso propio, ¿cuál es el esfuerzo normal máximo? ¿Y si la misma pieza se montara acostada?

1. Momento máximo, bajo la carga: M = P · L / 4 = 10 × 4 / 4 = 10 kN·m = 10 · 10⁶ N·mm.
2. Momento de inercia de canto: I = b · h³ / 12 = 100 × 200³ / 12 = 6.667 · 10⁷ mm⁴, con c = h / 2 = 100 mm.
3. Esfuerzo máximo: σ = M · c / I = 10 · 10⁶ × 100 / 6.667 · 10⁷ = 15.0 MPa. Comprobación: W = b · h² / 6 = 666,667 mm³ y σ = M / W = 15.0 MPa.
4. Acostada (b = 200 mm, h = 100 mm): I = 200 × 100³ / 12 = 1.667 · 10⁷ mm⁴, c = 50 mm y σ = 10 · 10⁶ × 50 / 1.667 · 10⁷ = 30.0 MPa.
5. Cortante: la fuerza cortante es V = P / 2 = 5 kN, y el esfuerzo máximo, en el eje neutro, es τ = 1.5 × 5,000 / (100 × 200) = 0.375 MPa.

El esquema siguiente reúne las etapas: la viga con la carga, el diagrama de momento flector con el máximo bajo la carga y la distribución lineal de esfuerzo en las dos posiciones de la sección, dibujadas a la misma escala.

Respuesta: 15.0 MPa de canto (compresión arriba, tracción abajo) y 30.0 MPa acostada. La misma pieza, con la misma área, trabaja con el doble de esfuerzo cuando está acostada, porque el esfuerzo máximo de un rectángulo disminuye con el cuadrado de la altura. El esfuerzo cortante, de 0.375 MPa, es pequeño frente al de flexión, el caso típico de una viga larga.

Ejercicio 4: torsión de un eje macizo

Un eje macizo de acero, de 40 mm de diámetro y 1 m de longitud, transmite un par de torsión de 1.2 kN·m. ¿Cuál es el esfuerzo cortante máximo y el ángulo de torsión entre los extremos?

1. Momento polar: J = π · d⁴ / 32 = π × 40⁴ / 32 = 251,327 mm⁴; radio exterior r = 20 mm.
2. Esfuerzo máximo: τ = T · r / J = 1.2 · 10⁶ × 20 / 251,327 = 95.5 MPa. Comprobación: 16 T / (π d³) = 16 × 1.2 · 10⁶ / (π × 40³) = 95.5 MPa.
3. Ángulo de torsión: φ = T · L / (G · J) = 1.2 · 10⁶ × 1,000 / (77,000 × 251,327) = 0.0620 rad.
4. En grados: 0.0620 × 180 / π = 3.55°.

Respuesta: τ_máx ≈ 95.5 MPa en la superficie y φ ≈ 3.55° por metro. En el centro del eje el esfuerzo es cero, y a 10 mm del centro es la mitad, 47.7 MPa. Si el diseño limita el giro a, por ejemplo, 1° por metro, este eje cumple por esfuerzo, pero no por rigidez, y necesita un diámetro mayor.

Ejercicio 5: pandeo de Euler y verificación de validez

Una barra maciza de acero, de 30 mm de diámetro y 2 m de longitud, se comprime con los dos extremos articulados (K = 1). Con E = 200 GPa y σ_e = 250 MPa, ¿cuál es la carga crítica de pandeo? ¿Es válida? ¿Cómo se compara con la carga que aplastaría la sección?

1. Geometría: I = π · d⁴ / 64 = π × 30⁴ / 64 = 39,761 mm⁴; A = π × 30² / 4 = 706.86 mm²; r = √(I / A) = d / 4 = 7.5 mm.
2. Esbeltez: K · L / r = 1 × 2,000 / 7.5 = 266.7, muy por encima del límite de cerca de 89 calculado en la sección de pandeo.
3. Carga crítica: P_cr = π² × 200,000 × 39,761 / 2,000² = 19,621 N ≈ 19.6 kN.
4. Validez: σ_cr = 19,621 / 706.86 = 27.8 MPa, muy por debajo de 250 MPa, así que la fórmula de Euler es válida.
5. Aplastamiento: σ_e · A = 250 × 706.86 = 176,715 N ≈ 176.7 kN.

Respuesta: P_cr ≈ 19.6 kN, cerca de 9 veces menos que los 176.7 kN que harían fluir la sección. La barra falla por inestabilidad mucho antes de que el material llegue a su límite. Con los dos extremos empotrados (K = 0.5), la carga crítica sube a 78.5 kN, todavía por debajo del aplastamiento, y la esbeltez, de 133.3, sigue en el rango de Euler. Cambiar el acero por otro de mayor esfuerzo de fluencia no modifica ninguno de estos números: lo que aumenta la carga crítica es reducir la longitud efectiva o aumentar el momento de inercia.

Errores comunes y límites de validez

La mayor parte de los errores en resistencia de materiales no está en la fórmula, sino en usarla fuera de sus hipótesis o con unidades mezcladas. Los más frecuentes, en examen y en diseño:

• Mezclar unidades. Fuerza en kN con área en mm² da kN/mm², mil veces el MPa. Regla práctica: fuerza en N, longitud en mm, esfuerzo y E en MPa (200 GPa = 200,000 MPa), momento en N·mm.
• Confundir la disciplina con la propiedad. La disciplina calcula; la resistencia mecánica es el dato del material que entra en el cálculo.
• Usar la ley de Hooke después de la fluencia. σ = E · ε solo es válida en el tramo lineal; por encima de él, la deformación crece mucho más que el esfuerzo y el desplazamiento calculado resulta demasiado pequeño.
• Aplicar τ = T · r / J a una sección no circular. Las barras rectangulares y los perfiles abiertos se alabean y exigen otra teoría.
• Creer que un acero más resistente se pandea menos. La carga de Euler depende de E y de la geometría, no de σ_e.
• Aplicar Euler a una columna corta. Si σ_cr rebasa el límite de proporcionalidad, la fórmula sobrestima la carga; hay que revisar la esbeltez.
• Tomar τ = V / A como el esfuerzo máximo en una viga. Es el promedio; en el rectángulo, el máximo es 1.5 veces mayor.
• Usar el momento de inercia del eje equivocado. En flexión vale el I respecto al eje alrededor del cual se curva la viga; en pandeo, el I mínimo de la sección.
• Dar un factor de seguridad sin decir a qué límite se refiere. n respecto a σ_e y respecto a σ_r son números diferentes, como muestra el ejercicio 1.
• Olvidar la concentración de esfuerzos. σ = N / A es el promedio lejos de barrenos, muescas y esquinas vivas; junto a ellos, el esfuerzo local es varias veces mayor, y es ahí donde empiezan las grietas.
• Usar fórmulas estáticas para carga cíclica o temperatura alta. Una pieza cargada millones de veces se rompe por debajo de la fluencia, por fatiga; bajo carga constante y en caliente, se deforma con el tiempo, por fluencia lenta (creep).
• Leer el esfuerzo de ingeniería como esfuerzo real después de la estricción. El diagrama convencional divide entre el área inicial; cuando la probeta se adelgaza en la estricción, la curva baja, pero el esfuerzo verdadero sigue subiendo.

Libros de resistencia de materiales

Tres libros de texto dominan los programas de estudio brasileños de resistencia de materiales, todos con teoría, ejemplos resueltos y cientos de ejercicios. Las ediciones siguientes (ediciones brasileñas) se revisaron el 07/10/2026 en el catálogo de las editoriales o en bibliotecas universitarias:

Libro	Edición revisada	Para quién sirve
R. C. Hibbeler, Resistência dos materiais	10.ª ed., Pearson, 2018 (ISBN 978-85-430-2499-8), 768 p.	Teoría con ejemplos ilustrativos y problemas de varios niveles de dificultad, en unidades SI
F. P. Beer, E. R. Johnston Jr., J. T. DeWolf y D. F. Mazurek, Mecânica dos materiais	8.ª ed., AMGH (Grupo A), 2021, 864 p.	Principios en contextos sencillos, siempre con aplicación, y uso amplio de diagramas
J. M. Gere y B. J. Goodno, Mecânica dos materiais	Cengage Learning, 2010 (traducción de la 7.ª ed. estadounidense)	Texto extenso (858 páginas), alternativa completa a los otros dos

Para la historia de la disciplina, la referencia es History of Strength of Materials, de Stephen Timoshenko (McGraw-Hill, 1953). Como complemento gratuito, los apuntes de Resistencia de Materiales I de la UFJF (en portugués) están disponibles en internet y cubren todo el primer curso, con ejercicios por capítulo. Las ediciones más antiguas de los libros siguen circulando y sirven para estudiar, pero la numeración de los ejercicios cambia de una edición a otra: en caso de duda, use la edición indicada por el profesor.

Dónde se miden los números: la máquina universal de ensayos

Las fórmulas de la resistencia de materiales tratan el material mediante tres números, E, σ_e y σ_r, y esos números se miden en una máquina universal de ensayos. Esta aplica la fuerza con velocidad controlada, mide la fuerza con una celda de carga y, con un extensómetro sujeto a la probeta, mide la deformación con la exactitud que exigen el módulo y la fluencia al 0.2 %. Cambiando las mordazas por otros dispositivos, la misma máquina reproduce en laboratorio los esfuerzos del curso: tracción y compresión, flexión en tres o cuatro puntos y corte de tornillos y pernos. Cada fórmula tiene, así, un ensayo correspondiente:

Fórmula del curso	Ensayo que proporciona el dato	Artículo
σ = N / A, δ = N L / (E A), σadm = σe / n	Tracción: E, σe y σr	ensayo de tracción
Compresión de pieza corta	Compresión	ensayo de compresión
σ = M · y / I	Flexión en 3 o 4 puntos	ensayo de flexión
τ = V / A	Corte de pernos, tornillos y juntas	ensayo de corte
τ = T · r / J, φ = T L / (G J)	Torsión: par, ángulo y G	ensayo de torsión

Biopdi fabrica la máquina universal de ensayos de la línea M2, de 200 N a 1,000 kN, con celdas de carga clase 1 según ISO 7500-1:2023 (ABNT NBR ISO 7500-1 en Brasil), extensómetros clip-on y el software BioLab, que traza la curva y calcula el módulo, la fluencia y la resistencia a la tracción. Para torsión, Biopdi ofrece la máquina de ensayo de torsión, con capacidades de 1, 5 y 10 N·m (otras bajo consulta) y probetas con diámetros de 1 a 8 mm y de 5 a 20 mm, y la máquina universal puede recibir un módulo de torsión asociado a la tracción, bajo consulta. El panel siguiente muestra la máquina universal M2, la función de cada parte en la medición y los dispositivos que reproducen los esfuerzos del curso:

En un laboratorio de enseñanza, la misma máquina sirve a los dos extremos de la disciplina: mide las propiedades que entran en las fórmulas y permite comprobar las propias fórmulas, cargando una viga en flexión y comparando la flecha medida con la calculada, como en la foto del inicio de este artículo.

Conclusión

La resistencia de materiales es la disciplina que lleva del equilibrio a las dimensiones de una pieza: el método de las secciones da los esfuerzos internos, las fórmulas transforman cada uno en esfuerzo y desplazamiento, y la comparación con el esfuerzo admisible decide si la pieza sirve. Cada fórmula es válida dentro de hipótesis claras (material elástico, sección circular en torsión, columna esbelta en Euler), y los números que usa vienen del ensayo. Los ejercicios de este artículo muestran las tres lecciones que más aparecen en el diseño: la viga trabaja mejor de canto, la columna esbelta falla por inestabilidad antes de que el material ceda y un factor de seguridad solo tiene sentido junto con el límite al que se refiere.

Para profundizar en cada propiedad usada aquí, consulte los artículos sobre propiedades mecánicas de los materiales, el diagrama esfuerzo-deformación y el módulo de elasticidad del acero. Para equipar un laboratorio de enseñanza o de control de calidad, hable con uno de nuestros especialistas.